Ураўненні Максвела

Электрадынаміка
VFPt Solenoid correct2.svg
Электрычнасць · Магнетызм
Гл. таксама «Фізічны партал»


Ураўненні Максвеласістэма ўраўненняў у дыферэнцыяльнай або інтэгральнай форме, якія апісваюць электрамагнітнае поле і яго сувязь з электрычнымі зарадамі і токамі ў вакууме і суцэльных асяроддзях. Разам з выразам для сілы Лорэнца, што задае меру ўздзеяння электрамагнітнага поля на зараджаныя часціцы, ураўненні Максвела ўтвараюць поўную сістэму ўраўненняў класічнай электрадынамікі, якую часам называюць ураўненнямі Максвела — Лорэнца. Ураўненні, сфармуляваныя Джэймсам Клеркам Максвелам на аснове назапашаных к сярэдзіне XIX стагоддзя эксперыментальных вынікаў, адыгралі ключавую ролю ў развіцці ўяўленняў тэарэтычнай фізікі і аказалі моцны, у некаторых выпадках вырашальны, уплыў не толькі на ўсе вобласці фізікі, непасрэдна звязаныя з электрамагнетызмам, але і на многія пазнейшыя фундаментальныя тэорыі, прадмет якіх не зводзіўся да электрамагнетызму (адным з самых яскравых прыкладаў тут можа служыць спецыяльная тэорыя адноснасці).

Гісторыя

Джэймс Клерк Максвел

Ураўненні, сфармуляваныя Джэймсам Клеркам Максвелам, узніклі на аснове шэрага важных эксперыментальных адкрыццяў пачатку XIX стагоддзя. У 1820 годзе Ганс Хрысціян Эрстэд выявіў[1], што гальванічны ток, які прапускаецца праз провад, прымушае адхіляцца магнітную стрэлку компаса. Гэта адкрыццё прыцягнула шырокую ўвагу навукоўцаў таго часу. У тым жа 1820 Біё і Савар эксперыментальна знайшлі выраз[2]для спароджанай токам магнітнай індукцыі (закон Біё — Савара), і Андрэ Мары Ампер выявіў, што ўзаемадзеянне на адлегласці ўзнікае таксама паміж двума праваднікамі, па якіх прапускаецца ток. Ампер ўвёў тэрмін «электрадынамічны» і выказаў гіпотэзу, што прыродны магнетызм звязаны з існаваннем у магнітах кругавых токаў[3].

Уплыў току на магніт, выяўлены Эрстэдам, прывёў Майкла Фарадэя да ідэі аб тым, што павінен існаваць і адваротны ўплыў магніта на токі. Пасля працяглых эксперыментаў, ў 1831 годзе, Фарадэй адкрыў, што магніт, які перамяшчаецца каля правадніка, спараджае ў правадніку электрычны ток. Гэта з'ява была названа электрамагнітнай індукцыяй. Фарадэй увёў паняцце «поля сіл» — пэўнага асяроддзя, якое знаходзіцца паміж зарадамі і токамі. Яго разважанні насілі якасны характар, але яны аказалі вялікі ўплыў на даследаванні Максвела.

Пасля адкрыццяў Фарадэя стала ясна, што старыя мадэлі электрамагнетызму (Ампера, Пуасона і інш.) няпоўныя. Неўзабаве з'явілася тэорыя Вебера, заснаваная на дальнадзеянні. Аднак на той момант уся фізіка, акрамя тэорыі прыцягнення, мела справу толькі з блізкадзеючымі сіламі (оптыка, тэрмадынаміка, механіка суцэльных асяроддзяў і інш.). Гаус, Рыман і шэраг іншых навукоўцаў выказвалі здагадкі, што святло мае электрамагнітную прыроду, так што тэорыя электрамагнітных з'яў таксама павінна быць блізкадзеючай. Гэты прынцып стаў істотнай асаблівасцю тэорыі Максвела.

У сваім знакамітым «Трактаце аб электрычнасці і магнетызме» (1873) Максвел пісаў[4]:

Прыступаючы да вывучэння працы Фарадэя, я выявіў, што яго метад разумення з'яў таксама быў матэматычным, хоць і не прадстаўленым у форме звычайных матэматычных знакаў. Я таксама знайшоў, што гэты метад можна выказаць у звычайнай матэматычнай форме і такім чынам параўнаць з метадамі прафесійных матэматыкаў.

Замяняючы фарадэеўскі тэрмін «поле сіл» на паняцце «напружанасць поля», Максвел зрабіў яго ключавым аб'ектам сваёй тэорыі[5]:

Калі мы прымем гэта асяроддзе ў якасці гіпотэзы, я лічу, што яно павінна займаць выдатнае месца ў нашых даследаваннях, і што нам варта было б паспрабаваць сканструяваць рацыянальнае ўяўленне аб ўсіх дэталях яго дзеяння, што і было маёй пастаяннай мэтай у гэтым трактаце.

Падобная электрадынамічнае асяроддзе стала абсалютна новым паняццем для ньютанаўскай фізікі. Апошняя вывучала ўзаемадзеянне паміж сабой матэрыяльных цел. Максвел жа запісаў ураўненні, якім павінна падпарадкоўвацца асяроддзе, якое вызначае ўзаемадзеянне зарадаў і токаў і існуе нават у іх адсутнасць.

Электрычны ток стварае магнітную індукцыю (закон Ампера)

Аналізуючы вядомыя эксперыменты, Максвел атрымаў сістэму ўраўненняў для электрычнага і магнітнага палёў. У 1855 годзе ў сваім самым першым артыкуле «Аб фарадэевых сілавых лініях» («On Faraday's Lines of Force»[6]) ён упершыню запісаў у дыферэнцыяльнай форме сістэму ўраўненняў электрадынамікі, але не ўводзячы яшчэ ток зрушэння. Такая сістэма ўраўненняў апісвала ўсе вядомыя на той час эксперыментальныя дадзеныя, але не дазваляла звязаць паміж сабой зарады і токі і прадказаць электрамагнітныя хвалі[7]. Упершыню ток зрушэння быў ​​уведзены Максвелам у працы «Аб фізічных сілавых лініях» («On Physical Lines of Force»[8]), якая складаецца з чатырох частак і была апублікавана ў 1861-1862 гадах. Абагульняючы закон Ампера, Максвел ўводзіць ток зрушэння, імаверна, каб звязаць токі і зарады ўраўненнем непарыўнасці, якое ўжо было вядома для іншых фізічных велічынь[7]. Такім чынам, у гэтым артыкуле фактычна была завершана фармулёўка поўнай сістэмы ўраўненняў электрадынамікі. У артыкуле 1864 «Дынамічная тэорыя электрамагнітнага поля» («A dynamical theory of the electromagnetic field»[9]) разгледжана сфармуляваная раней сістэма ўраўненняў з 20 скалярных ураўненняў для 20 скалярных невядомых. У гэтым артыкуле Максвел ўпершыню сфармуляваў паняцце электрамагнітнага поля як фізічнай рэальнасці, якая мае ўласную энергію і канечны час распаўсюджвання, які і вызначае з'яву запазнення ​​электрамагнітнага ўзаемадзеяння[7].

Пераменны паток магнітнага поля стварае электрычнае поле (закон Фарадэя)

Аказалася, што не толькі ток, але электрычнае поле, якое змяняецца з часам, (ток зрушэння) спараджае магнітнае поле. У сваю чаргу, згодна з законам Фарадэя, пераменнае магнітнае поле зноў спараджае электрычнае. У выніку, у пустой прасторы можа распаўсюджвацца электрамагнітная хваля. З ураўненняў Максвела вынікала, што яе хуткасць роўная хуткасці святла, таму Максвел зрабіў выснову аб электрамагнітнай прыродзе святла.

Частка фізікаў выступіла супраць тэорыі Максвела (асабліва шмат пярэчанняў выклікала канцэпцыя току зрушэння). Гельмгольц прапанаваў сваю тэорыю, кампрамісную ў адносінах да мадэлей Вебера і Максвела, і даручыў свайму вучню Генрыху Герцу правесці яе эксперыментальную праверку. Аднак вопыты Герца адназначна пацвердзілі слушнасць тэорыі Максвела.

Максвел не ўжываў вектарных абазначэнняў і запісваў свае ўраўненні ў досыць грувасткім кампанентным выглядзе. У сваім трактаце [10] ён, акрамя таго, часткова выкарыстаў кватэрніённую фармулёўку. Сучасная форма ўраўненняў Максвела з'явілася каля 1884 пасля работ Хэвісайда, Герца і Гібса. Яны не толькі перапісалі сістэму Максвела ў вектарным выглядзе, але і сіметрызавалі яе, перафармуляваўшы ў тэрмінах поля і пазбавіўшыся ад электрычнага і магнітнага патэнцыялаў, істотных у тэорыі Максвела, бо лічылі, што гэтыя функцыі з'яўляюцца толькі непатрэбнымі дапаможнымі матэматычнымі абстракцыямі[11]. Цікава, што сучасная фізіка падтрымлівае Максвела, але не падзяляе негатыўнае стаўленне яго ранніх паслядоўнікаў да патэнцыялаў. Электрамагнітны патэнцыял выконвае важную ролю ў квантавай фізіцы і праяўляецца як фізічна вымяраемая велічыня ў некаторых эксперыментах, напрыклад, у эфекце Ааронава — Бома[12].

Сістэма ўраўнанняў у фармулёўцы Герца і Хэвісайда некаторы час называлася ўраўненнямі Герца — Хэвісайда[13]. Эйнштэйн у класічным артыкуле «Да электрадынамікі цел у руху» [14] назваў іх ураўненнямі Максвела — Герца. Часам у літаратуры сустракаецца таксама назва ўраўненні Максвела — Хэвісайда[15].

Ураўненні Максвела адыгралі важную ролю пры ўзнікненні спецыяльнай тэорыі адноснасці (СТА). Джозэф Лармор (1900)[16] і незалежна ад яго Хендрык Лорэнц (1904 год)[17] знайшлі пераўтварэнні каардынат, часу і электрамагнітных палёў, якія пакідаюць ўраўненні Максвелла інварыянтнымі пры пераходзе ад адной інерцыяльнай сістэмы адліку да іншай. Гэтыя пераўтварэнні адрозніваліся ад пераўтварэнняў Галілея класічнай механікі і, з падачы Анры Пуанкарэ[18], сталі называцца пераўтварэннямі Лорэнца. Яны сталі матэматычным падмуркам спецыяльнай тэорыі адноснасці.

Распаўсюджванне электрамагнітных хваль з хуткасцю святла першапачаткова тлумачылася як ўзбурэнне (хваляванне) некаторага асяроддзя, так званага эфіру. Рабіліся шматлікія спробы выявіць рух Зямлі адносна эфіру, аднак яны нязменна давалі адмоўны вынік[19]. Таму Анры Пуанкарэ выказаў гіпотэзу аб прынцыповай немагчымасці выявіць падобны рух (прынцып адноснасці). Яму ж належыць пастулат аб незалежнасці хуткасці святла ад хуткасці яго крыніцы і вывад (разам з Лорэнцам), зыходзячы са сфармуляванага так прынцыпу адноснасці, дакладнага выгляду пераўтварэнняў Лорэнца (пры гэтым былі паказаны і групавыя ўласцівасці гэтых пераўтварэнняў). Гэтыя дзве гіпотэзы (пастулаты) ляглі і ў аснову артыкула Альберта Эйнштэйна (1905 год)[14]. З іх дапамогай ён таксама вывеў пераўтварэнні Лорэнца і зацвердзіў іх агульнафізічны сэнс, асабліва падкрэсліўшы магчымасць іх прымянення для пераходу з любой інерцыяльных сістэм адліку ў любую іншую інерцыяльную. Гэта праца фактычна адзначыла сабой пабудову спецыяльнай тэорыі адноснасці. У СТА пераўтварэнні Лорэнца адлюстроўваюць агульныя ўласцівасці прасторы і часу, а мадэль эфіру аказваецца непатрэбнай. Электрамагнітныя палі з'яўляюцца самастойнымі аб'ектамі, існуючымі нароўні з матэрыяльнымі часціцамі.

Класічная электрадынаміка, заснаваная на ўраўненнях Максвелла, ляжыць у аснове шматлікіх прыкладанняў электра- і радыётэхнікі, ЗВЧ і оптыкі. На сённяшні дзень не выяўлена ні аднаго эфекту, які патрабаваў бы перайначвання ўраўненняў. Яны аказваюцца дастасавальнымі і ў квантавай механіцы, калі разглядаецца рух, напрыклад, зараджаных часціц ў знешніх электрамагнітных палях. Таму ўраўненні Максвелла з'яўляюцца асновай мікраскапічнага апісання электрамагнітных уласцівасцей рэчыва.

Ураўненні Максвелла запатрабаваныя таксама ў астрафізіцы і касмалогіі, бо многія планеты і зоркі маюць магнітнае поле. Магнітнае поле вызначае, у прыватнасці, ўласцівасці такіх аб'ектаў, як пульсары і квазары.

На сучасным узроўні разумення ўсё фундаментальныя часціцы з'яўляюцца квантавымі ўзбуджэннямі («квантамі») розных палёў. Напрыклад, фатон — гэта квант электрамагнітнага поля, а электрон — квант спінарнага поля[20]. Таму палявы падыход, прапанаваны Фарадэем і істотна развіты Максвелам, з'яўляецца асновай сучаснай фізікі фундаментальных часціц, у тым ліку яе стандартнай мадэлі.

Гістарычна трохі раней ён адыграў важную ролю ў з'яўленні квантавай механікі ў фармулёўцы Шродзінгера і наогул адкрыцці квантавых ураўненняў, якія апісваюць рух часціц, у тым ліку і рэлятывісцкіх (ураўненне Клейна — Гордана, ураўненне Дзірака), хоць першапачаткова аналогія з ураўненнямі Максвела тут бачылася хутчэй толькі ў агульнай ідэі, тады як пасля аказалася, што яе можна разумець як больш канкрэтную і дэталёвую (як гэта апісана вышэй).

Таксама палявы падыход, які у цэлым узыходзіць да Фарадэя і Максвела, стаў цэнтральным ў тэорыі гравітацыі (у тым ліку ў АТА).

Запіс ураўненняў Максвела і сістэмы адзінак

Запіс большасці ўраўненняў у фізіцы не залежыць ад выбару сістэмы адзінак. Аднак у электрадынаміцы гэта не так. У залежнасці ад выбару сістэмы адзінак ва ўраўненнях Максвела ўзнікаюць розныя каэфіцыенты (канстанты). Міжнародная сістэма адзінак (СІ) з'яўляецца стандартам у тэхніцы і выкладанні, аднак спрэчкі сярод фізікаў аб яе перавагах і недахопах у параўнанні з сіметрычнай гаусавай сістэмай адзінак (СГС) не сціхаюць[21]. Перавага сістэмы СГС ў электрадынаміцы заключаецца ў тым, што ўсе палі ў ёй маюць адну размернасць, а ўраўненні, на думку многіх навукоўцаў, запісваюцца прасцей і натуральней[22]. Таму СГС працягвае прымяняцца ў навуковых публікацыях па электрадынаміцы і ў выкладанні тэарэтычнай фізікі, напрыклад, у курсе тэарэтычнай фізікі Ландау і Ліфшыца. Але для ўжывання на практыцы многія прынятыя ў СГС адзінкі вымярэння нязручныя, бо ці не маюць назвы, як безразмерныя, ці вызначаны неадназначна і адрозніваюцца ў розных пашырэннях сістэмы СГС. Сістэма ж СІ стандартызавана і лепш самаўзгоднена, на гэтай сістэме пабудавана ўся сучасная метралогія[23]. Акрамя таго, сістэма СІ звычайна выкарыстоўваецца ў курсах агульнай фізікі. У сувязі з гэтым усе суадносіны, калі яны па-рознаму запісваюцца ў сістэмах СІ і СГС, далей прыводзяцца ў двух варыянтах.

Часам (напрыклад, у «Фейнманаўскіх лекцыях па фізіцы», а таксама ў сучаснай квантавай тэорыі поля) ужываецца сістэма адзінак, у якой хуткасць святла, электрычная і магнітная пастаянная прымаюцца за адзінку (). У такой сістэме ўраўненні Максвела запісваюцца наогул без каэфіцыентаў, усе палі маюць аднолькавую размернасць, а ўсе патэнцыялы — сваю аднолькавую. Такая сістэма асабліва зручная ў каварыянтнай чатырохмернай фармулёўцы законаў электрадынамікі праз 4-патэнцыял і 4-тэнзар электрамагнітнага поля.

Дыферэнцыяльная форма

Ураўненні Максвела прадстаўляюць сабой у вектарным запісе сістэму з чатырох ураўненняў, якая зводзіцца ў кампанентным прадстаўленні да васьмі (два вектарныя ураўненні ўтрымліваюць па тры кампаненты кожнае, плюс два скалярныя[24]) лінейных дыферэнцыяльных ураўненняў ў частковых вытворных першага парадку для 12 кампанент чатырох вектарных функцый ():

Назва
СГС
СІ
Прыкладнае апісанне словамі
Закон Гауса
Электрычны зарад з'яўляецца крыніцай электрычнай індукцыі.
Закон Гауса для магнітнага поля
Не існуе магнітных зарадаў[~ 1].
Закон індукцыі Фарадэя
Змяненне магнітнай індукцыі спараджае віхравое электрычнае поле[~ 1].
Тэарэма аб цыркуляцыі магнітнага поля
Электрычны ток і змяненне электрычнай індукцыі спараджаюць віхравое магнітнае поле.

Тоўстым шрыфтам у далейшым абазначаюцца вектарныя велічыні, курсівам — скалярныя.

Уведзеныя абазначэнні:

  • — шчыльнасць старонняга электрычнага зараду (у адзінках СІ — Кл/м³);
  • шчыльнасць электрычнага току (шчыльнасць току праводнасці) (у адзінках СІ — А/м²); у найпрасцейшым выпадку — калі ток спараджаецца адным тыпам носьбітаў зараду, яна выражаецца проста як , дзе — (сярэдняя) хуткасць руху гэтых носьбітаў у наваколлі дадзенага пункта, — шчыльнасць зараду гэтага тыпу носьбітаў (яна ў агульным выпадку не супадае з )[25]; у агульным выпадку гэта выраз трэба усярэдніць па розных тыпах носьбітаў;
  • хуткасць святла ў вакууме (299792458 м/с);
  • напружанасць электрычнага поля (у адзінках СІ — В/м);
  • напружанасць магнітнага поля (у адзінках СІ — А/м);
  • электрычная індукцыя (у адзінках СІ — Кл/м²);
  • магнітная індукцыя (у адзінках СІ — Тл = Вб/м² = кг•с−2•А−1);
  • — дыферэнцыяльны аператар набла, які ў дэкартавых каардынатах (x, y, z) мае выгляд:

пры гэтым:

  • азначае ротар вектара,
  • азначае дывергенцыю вектара.

Прыведзеныя вышэй ураўненні Максвела не ўтвараюць яшчэ поўнай сістэмы ўраўненняў электрамагнітнага поля, бо яны не ўтрымліваюць уласцівасцей асяроддзя, у яком узбуджана электрамагнітнае поле. Суадносіны, якія звязваюць велічыні , , , і і ўлічваюць індывідуальныя ўласцівасці асяроддзя, называюцца матэрыяльнымі ўраўненнямі.

Інтэгральная форма

Пры дапамозе формул Астраградскага — Гауса і Стокса дыферэнцыяльным ураўненням Максвела можна надаць форму інтэгральных ураўненняў:

Назва
СГС
СІ
Прыкладнае апісанне словамі
Закон Гауса
Паток электрычнай індукцыі праз замкнёную паверхню прапарцыянальны велічыні свабоднага зараду, які знаходзіцца ў акружаным паверхняю аб'ёме
Закон Гауса для магнітнага поля
Паток магнітнай індукцыі праз замкнёную паверхню роўны нулю (магнітныя зарады не існуюць).
Закон індукцыі Фарадэя
Змяненне патоку магнітнай індукцыі праз незамкнёную паверхню узятае з адваротным знакам, прапарцыянальнае цыркуляцыі электрычнага поля на замкнёным контуры , які з'яўляецца мяжой паверхні .
Тэарэма аб цыркуляцыі магнітнага поля
Поўны электрычны ток свабодных зарадаў і змяненне патоку электрычнай індукцыі праз незамкнёную паверхню узятыя ў суме, прапарцыянальныя цыркуляцыі магнітнага поля на замкнёным контуры , які з'яўляецца мяжой паверхні .
Паток электрычнага поля праз замкнёную паверхню

Уведзеныя абазначэнні:

  • — двухмерная замкнёная ў выпадку тэарэмы Гауса паверхня, якая абмяжоўвае аб'ём , і адкрытая паверхня ў выпадку законаў Фарадэя і Ампера — Максвелла (яе мяжой з'яўляецца замкнёны контур ).
  • электрычны зарад, заключаны ў абмежаваным паверхняй аб'ёме (у адзінках СІ — Кл);
  • электрычны ток, які праходзіць праз паверхню (у адзінках СІ — А).

Пры інтэграванні па замкнёнай паверхні вектар элемента плошчы накіраваны з аб'ёму вонкі. Арыентацыя пры інтэграванні па незамкнутай паверхні вызначаецца напрамкам правага вінта, які «ўкручваецца» пры павароце ў кірунку абыходу контурнага інтэграла па .

Апісанне законаў Максвела словамі, напрыклад, закона Фарадэя, нясе адбітак традыцыі, бо спачатку пры кантралюемым змяненні магнітнага патоку рэгістравалася ўзнікненне электрычнага поля (дакладней электрарухальнай сілы). У агульным выпадку ва ўраўненнях Максвела (як у дыферэнцыяльнай, так і ў інтэгральнай форме) вектарныя функцыі з'яўляюцца раўнапраўнымі невядомымі велічынямі, якiя вызначаюцца ў выніку рашэння ўраўненняў.

Cіла Лорэнца

Пры вырашэнні ўраўненняў Максвела размеркаванні зарадаў , і токаў часта лічацца зададзенымі. З улікам межавых умоў і матэрыяльных ураўненняў гэта дазваляе вызначыць напружанасць электрычнага поля і магнітную індукцыю , якія, у сваю чаргу, вызначаюць сілу, якая дзейнічае на пробны зарад , што рухаецца з хуткасцю . Гэтая сіла называецца сілай Лорэнца:

СГС
СІ

Электрычны складнік сілы накіраваны па электрычным полі (калі ), а магнітны — перпендыкулярны хуткасці зарада і магнітнай індукцыі. Упершыню выраз для сілы, якая дзейнічае на зарад у магнітным полі (электрычная кампанента была вядомая), атрымаў ў 1889 годзе Хэвісайд[26][27] за тры гады да Хендрыка Лорэнца, які вывеў выраз для гэтай сілы ў 1892 годзе.

У больш складаных сітуацыях у класічнай і квантавай фізіцы ў выпадку, калі пад дзеяннем электрамагнітных палёў свабодныя зарады перамяшчаюцца і змяняюць значэнні палёў, неабходна рашэнне самаўзгодненай сістэмы з ураўненняў Максвелла і ўраўненняў руху, якія ўключаюць сілы Лорэнца. Атрыманне дакладнага аналітычнага рашэння такой поўнай сістэмы спалучана звычайна з вялікімі цяжкасцямі.

Размерныя канстанты у ўраўненнях Максвела

У гаусавай сістэме адзінак СГС ўсе палі маюць аднолькавую размернасць, і ў ўраўненнях Максвела фігуруе адзіная фундаментальная канстанта , якая мае размернасць хуткасці, якая цяпер называецца хуткасцю святла (іменна роўнасць гэтай канстанты хуткасці распаўсюджвання святла дала Максвелу падставы для гіпотэзы аб электрамагнітнай прыродзе святла[28]).

У сістэме адзінак СІ, каб звязаць электрычную індукцыю і напружанасць электрычнага поля ў вакууме, уводзіцца электрычная пастаянная (). Магнітная пастаянная , з'яўляецца такім жа каэфіцыентам прапарцыянальнасці для магнітнага поля ў вакууме (). Назвы электрычная пастаянная і магнітная пастаянная зараз стандартызаваныя [29]. Раней для гэтых велічынь таксама выкарыстоўваліся, адпаведна, назвы дыэлектрычная і магнітная пранікальнасці вакууму.

Хуткасць электрамагнітнага выпраменьвання ў вакууме (хуткасць святла) у СІ з'яўляецца пры вывадзе хвалевага ўраўнення:

У сістэме адзінак СІ, у якасці дакладных размерных канстант вызначаны хуткасць святла ў вакууме і магнітная пастаянная . Праз іх выяўляецца электрычная пастаянная .

Прынятыя значэнні [30] хуткасці святла, электрычнай і магнітнай пастаянных прыведзеныя ў табліцы:

Сімвал
Назва
Лікавае значэнне
Адзінкі вымярэння СІ
Пастаянная хуткасці святла
(дакладна)
м/с
Магнітная пастаянная
Гн
Электрычная пастаянная
Ф

Часам ўводзіцца велічыня, званая «хвалевым супраціўленнем», або «імпеданс» вакууму:

Ом.

Набліжанае да значэнне для атрымліваецца, калі для хуткасці святла прыняць значэнне м/c. У сістэме СГС . Гэтая велічыня мае сэнс адносіны амплітуд напружанасцей электрычнага і магнітнага палёў плоскай электрамагнітнай хвалі ў вакууме.

Ураўненні Максвела ў асяроддзі

Каб атрымаць поўную сістэму ўраўненняў электрадынамікі, да сістэмы ўраўненняў Максвела неабходна дадаць матэрыяльныя ўраўненні, якія злучаюць велічыні , , , , , у якіх улічаныя індывідуальныя ўласцівасці асяроддзя. Спосаб атрымання матэрыяльных ураўненняў даюць малекулярныя тэорыі палярызацыі, намагнічанасць і электраправоднасці асяроддзя, якія выкарыстоўваюць ідэалізаваныя мадэлі асяроддзя. Прымяняючы да іх ўраўненні класічнай або квантавай механікі, а таксама метады статыстычнай фізікі, можна ўсталяваць сувязь паміж вектарамі , , з аднаго боку і , з іншага боку.

Звязаныя зарады і токі

Злева: Сукупнасць мікраскапічных дыполяў ў асяроддзі ўтвараюць адзін макраскапічны дыпольны момант і эквівалентныя двум зараджаным з процілеглым знакам пласцінам на мяжы. Пры гэтым унутры асяроддзя ўсё зарады скампенсаваныя; Справа: Сукупнасць мікраскапічных цыркулярных токаў у асяроддзі эквівалентная макраскапічнаму току, які цыркулюе ўздоўж мяжы. Пры гэтым унутры асяроддзя ўсё токі скампенсаваныя.

Пры прыкладанні электрычнага поля да дыэлектрычнага матэрыялу кожная з яго малекул ператвараецца ў мікраскапічны дыполь. Пры гэтым дадатныя ядра атамаў трохі ссоўваюцца ў кірунку поля, а электронныя абалонкі ў процілеглым кірунку. Акрамя гэтага, малекулы некаторых рэчываў першапачаткова маюць дыпольны момант. Дыпольныя малекулы імкнуцца арыентавацца ў кірунку поля. Гэты эфект завецца палярызацыяй дыэлектрыкаў. Такое зрушэнне звязаных зарадаў малекул ў аб'ёме эквівалентнае з'яўленню некаторага размеркавання зарадаў на паверхні, хоць усе малекулы, залучаныя ў працэс палярызацыі застаюцца нейтральнымі (гл. малюнак).

Аналагічным чынам адбываецца магнітная палярызацыя (намагнічванне) у матэрыялах, у якіх іх атамы і малекулы маюць магнітныя моманты, звязаныя са спінам і арбітальным момантам ядраў і электронаў. Вуглавыя моманты атамаў можна прадставіць у выглядзе цыркулярных токаў. На мяжы матэрыялу сукупнасць такіх мікраскапічных токаў эквівалентная макраскапічным токам, якія цыркулююць ўздоўж паверхні, нягледзячы на тое, што рух зарадаў ў асобных магнітных дыполях адбываецца толькі ў мікрамаштабе (звязаныя токі).

Разгледжаныя мадэлі паказваюць, што хоць вонкавае электрамагнітнае поле дзейнічае на асобныя атамы і малекулы, яго паводзіны ў многіх выпадках можна разглядаць спрошчаным чынам ў макраскапічным маштабе, ігнаруючы дэталі мікраскапічнай карціны.

У асяроддзі іншыя электрычныя і магнітныя палі выклікаюць палярызацыю і намагнічванне рэчыва, якія макраскапічна апісваюцца адпаведна вектарам палярызацыі і вектарам намагнічанасці рэчывы, а выкліканыя з'яўленнем звязаных зарадаў і токаў . У выніку поле ў асяроддзі аказваецца сумай знешніх палёў і палёў, выкліканых звязанымі зарадамі і токамі.

СГС
СІ

Палярызацыя і намагнічанасць рэчыва звязаныя з вектарамі напружанасці і індукцыі электрычнага і магнітнага поля наступнымі суадносінамі:

СГС
СІ

Палярызацыя і намагнічанасць рэчыва звязаныя з вектарамі напружанасці і індукцыі электрычнага і магнітнага поля наступнымі суадносінамі:

СГС
СІ

Таму, выражаючы вектары і праз , , і , можна атрымаць матэматычна эквівалентную сістэму ўраўненняў Максвела:

СГС
СІ

Індэксам тут пазначаны свабодныя зарады і токі. Ўраўненні Максвела ў такой форме з'яўляюцца фундаментальнымі, у тым сэнсе, што яны не залежаць ад мадэлі электрамагнітнай будовы рэчыва. Падзел зарадаў і токаў на свабодныя і звязаныя дазваляе «схаваць» у , , а затым у і, такім чынам, у складаны мікраскапічны характар ​​электрамагнітнага поля ў асяроддзі.

Матэрыяльныя ўраўненні

Матэрыяльныя ўраўненні усталёўваюць сувязь паміж і . Пры гэтым улічваюцца індывідуальныя ўласцівасці асяроддзя. На практыцы ў матэрыяльных ураўненнях звычайна выкарыстоўваюцца эксперыментальна вызначаныя каэфіцыенты (залежныя ў агульным выпадку ад частаты электрамагнітнага поля), якія сабраны ў розных даведніках фізічных велічынь[31].

СГС
СІ

дзе ўведзеныя безразмерныя канстанты: дыэлектрычная ўспрымальнасць і магнітная ўспрымальнасць рэчыва (у сістэме адзінак СІ гэтыя канстанты ў разоў больш, чым у гаусавай сістэме СГС). Адпаведна, матэрыяльныя ўраўненні для электрычнай і магнітнай індукцыі запісваюцца ў наступным выглядзе:

СГС
СІ

дзе — адносная дыэлектрычная пранікальнасць, — адносная магнітная пранікальнасць. Размерныя велічыні (у адзінках СІФ/м) і (у адзінках СІ — Гн/м), якія ўзнікаюць у сістэме СІ, называюцца абсалютная дыэлектрычная пранікальнасць і абсалютная магнітная пранікальнасць адпаведна.

дзе удзельная праводнасць асяроддзя (у адзінках СІ — Ом-1•м-1).

  • У анізатропным асяроддзі , і з'яўляюцца тэнзарамі , і . У сістэме каардынат галоўных восей яны могуць быць апісаны дыяганальнымі матрыцамі. У гэтым выпадку, сувязь паміж напружанасцямі палёў і індукцыямі маюць розныя каэфіцыенты па кожнай каардынаце. Напрыклад, у сістэме СІ:
  • Хоць для шырокага класа рэчываў лінейнае набліжэнне для слабых палёў выконваецца з добрай дакладнасцю, у агульным выпадку залежнасць паміж і можа быць нелінейнай. У гэтым выпадку пранікальнасці асяроддзя не з'яўляюцца канстантам , а залежаць ад велічыні поля ў дадзенай кропцы. Акрамя таго, больш складаная сувязь паміж і назіраецца ў асяроддзях з прасторавай або часовай дысперсіямі. У выпадку прасторавай дысперсіі токі і зарады ў дадзенай кропцы прасторы залежаць ад велічыні поля не толькі ў той жа кропцы, але і ў суседніх кропках. У выпадку часовай дысперсіі палярызацыя і намагнічанасць асяроддзя не вызначаюцца толькі велічынёй поля ў дадзены момант часу, а залежаць таксама ад велічыні палёў у папярэднія моманты часу. У самым агульным выпадку нелінейных і неаднародных асяроддзяў з дысперсіяй, матэрыяльныя ўраўненні ў сістэме СІ прымаюць інтэгральны выгляд:

.

Аналагічныя ўраўненні атрымліваюцца ў гаусавай сістэме СГС (калі фармальна пакласці ).

Ураўненні ў ізатропных і аднародных асяроддзях без дысперсіі

У ізатропных і аднародных асяроддзях без дысперсіі ўраўненні Максвела прымаюць наступны выгляд:

СГС
СІ

У аптычным дыяпазоне частот замест дыэлектрычнай пранікальнасці выкарыстоўваецца паказчык праламлення , які паказвае адрозненне хуткасці распаўсюджвання манахраматычнай светлавой хвалі ў асяроддзі ад хуткасці святла ў вакууме. Пры гэтым ў аптычным дыяпазоне дыэлектрычная пранікальнасць звычайна прыкметна менш чым на нізкіх частотах, а магнітная пранікальнасць большасці аптычных асяроддзяў практычна роўная адзінцы. Паказчык праламлення большасці празрыстых матэрыялаў складае ад 1 да 2, дасягаючы 5 у некаторых паўправаднікоў[32]. У вакууме і дыэлектрычная, і магнітная пранікальнасці роўныя адзінцы: .

Паколькі ўраўненні Максвелла ў лінейным асяроддзі з'яўляюцца лінейнымі адносна палёў і свабодных зарадаў і токаў , справядлівы прынцып суперпазіцыі:

Калі размеркавані зарадаў і токаў ствараюць электрамагнітнае поле з кампанентамі, а іншыя размеркаванні ствараюць, адпаведна, поле , то сумарнае поле, яко ствараецца крыніцамі , будзе роўнае .

Пры распаўсюдзе электрамагнітных палёў у лінейным асяроддзі ў адсутнасць зарадаў і токаў сума любых прыватных рашэнняў ўраўненняў будзе таксама задавальняць ураўненняі Максвела.

Межавыя ўмовы

У многіх выпадках неаднастайнае асяроддзе можна прадставіць у выглядзе сукупнасці кавалкава-бесперапынных аднародных абласцей, падзеленых бясконца тонкімі межамі. Пры гэтым можна вырашаць ўраўненні Максвелла ў кожнай вобласці, «сшываючы» на межах рашэнні, якія атрымліваюцца. У прыватнасці, пры разглядзе рашэнні ў канчатковым аб'ёме неабходна ўлічваць ўмовы на межах аб'ёму з навакольнай бясконцай прасторай. Межавыя ўмовы атрымліваюцца з ураўненняў Максвела гранічным пераходам. Для гэтага прасцей за ўсё скарыстацца ўраўненнямі Максвелла ў інтэгральнай форме.

Выбіраючы ў другой пары ўраўненняў контур інтэгравання ў выглядзе прастакутнай рамкі бясконца малой вышыні, што перасякае мяжу падзелу двух асяроддзяў, можна атрымаць наступную сувязь паміж кампанентамі поля ў дзвюх абласцях, якія прымыкаюць да мяжы [33]:

СГС
СІ
,
,
,
,

дзе — адзінкавы вектар нармалі да паверхні, накіраваны з асяроддзя 1 у асяроддзе 2 і які мае размернасць, зваротную даўжыні, — шчыльнасць паверхневых свабодных токаў ўздоўж мяжы (гэта значыць не уключаючы звязаных токаў намагнічвання, якія складваюцца на мяжы асяроддзя з мікраскапічных малекулярных т.п.токаў). Першую межавую ўмову можна інтэрпрэтаваць як бесперапыннасць на мяжы абласцей тангенцыяльных кампанент напружанасцяў электрычнага поля (з другога вынікае, што тангенцыяльныя кампаненты напружанасці магнітнага поля бесперапынныя толькі пры адсутнасці паверхневых токаў на мяжы).

Аналагічным чынам, выбіраючы вобласць інтэгравання ў першай пары інтэгральных ураўненняў у выглядзе цыліндру бясконца малой вышыні, які перасякае мяжу падзелу так, што яго ўтвараюць перпендыкулярныя мяжы падзелу, можна атрымаць:

СГС
СІ
,
,
,
,

дзе — павярхоўная шчыльнасць свабодных зарадаў (гэта значыць якая не ўключае ў сябе звязаных зарадаў, якія ўзнікаюць на мяжы асяроддзя з прычыны дыэлектрычнай палярызацыі самога асяроддзя).

Гэтыя межавыя ўмовы паказваюць бесперапыннасць нармальнай кампаненты вектару магнітнай індукцыі (нармальная кампанента электрычнай індукцыі бесперапынная толькі пры адсутнасці на мяжы паверхневых зарадаў).

З ураўнення бесперапыннасці можна атрымаць межавую ўмову для токаў:

,

Важным прыватным выпадкам з'яўляецца мяжа падзелу дыэлектрыка і ідэальнага правадніка. Паколькі ідэальны праваднік мае бясконцую праводнасць, электрычнае поле ўнутры яго роўнае нулю (інакш яно спараджала б бясконцую шчыльнасць току). Тады ў агульным выпадку зменных палёў з ураўненняў Максвела вынікае, што і магнітнае поле ў правадніку роўна нулю. У выніку тангенцыяльная кампанента электрычнага і нармальная магнітнага поля на мяжы з ідэальным правадніком роўныя нулю:

СГС
СІ
,
,
,
,
,
,
,
,

Законы захавання

Ураўненні Максвела ўтрымліваюць у сабе законы захавання зараду і энергіі электрамагнітнага поля.

Ураўненне бесперапыннасці

Крыніцы палёў () не могуць быць зададзены адвольным чынам. Ужываючы аперацыю дывергенцыі да чацвёртага ўраўнення (закон Ампера-Максвела) і выкарыстоўваючы першае ўраўненне (закон Гаўса), можна атрымаць ураўненне бесперапыннасці для зарадаў і токаў:

Гэтае ўраўненне пры дапамозе інтэгральнай тэарэмы Астраградскага — Гауса можна запісаць у наступным выглядзе:

У левай частцы ўраўнення знаходзіцца поўны ток, што працякае праз замкнёную паверхню . У правай частцы — змена з часам зарада, які знаходзіцца ўнутры аб'ёму . Такім чынам, змена зарада ўнутры аб'ёму магчыма толькі пры яго прытоку або адтоку праз паверхню , якая абмяжоўвае аб'ём.

Ураўненне бесперапыннасці, эквівалентнае закону захавання зараду, далёка выходзіць за межы класічнай электрадынамікі, застаючыся справядлівым і ў квантавай тэорыі. Таму гэтае ўраўненне само па сабе можа быць пакладзена ў аснову электрамагнітнай тэорыі. Тады, напрыклад, ток зрушэння (вытворная па часе электрычнага поля) павінен абавязкова прысутнічаць у законе Ампера.

З ураўненняў Максвелла для ротараў і ўраўнення бесперапыннасці з дакладнасцю да адвольных функцый, не якія залежаць ад часу, ідуць законы Гауса для электрычнага і магнітнага палёў.


Закон захавання энергіі

Калі памножыць трэцяе ўраўненне Максвела ў дыферэнцыяльнай форме (закон Фарадэя) скалярна на , а чацвёртае (закон Ампера — Максвела) на і скласці вынікі, можна атрымаць тэарэму Пойнтынга:

дзе

СГС СІ

Вектар называецца вектарам Пойнтынга (вектарам шчыльнасці патоку электрамагнітнай энергіі) і вызначае колькасць электрамагнітнай энергіі, якая пераносіцца праз адзінку плошчы ў адзінку часу. Інтэграл вектара Пойнтынга па сячэнні хвалі, якая распаўсюджваецца, вызначае яе моц. Важна адзначыць, што, як упершыню паказаў Хэвісайд, фізічны сэнс патоку энергіі мае толькі бязвіхурная частка вектара Пойнтынга. Віхурная частка, дывергенцыя якой роўная нулю, не звязаная з пераносам энергіі. Заўважым, што Хэвісайд атрымаў выраз для закона захавання незалежна ад Пойнтынга. У рускамоўнай літаратуры вектар Пойнтынга часта завецца таксама «вектарам Умава — Пойнтынга».

Велічыні і вызначаюць аб'ёмныя шчыльнасці энергіі, адпаведна, электрычнага і магнітнага палёў. Пры адсутнасці токаў і звязаных з імі страт тэарэма Пойнтынга з'яўляецца ўраўненнем бесперапыннасці для энергіі электрамагнітнага поля. Праінтеграваўшы яго ў гэтым выпадку па некаторым замкнёным аб'ёме і скарыстаўшыся тэарэмай Астраградскага — Гауса, можна атрымаць закон захавання энергіі для электрамагнітнага поля:

Гэтае ўраўненне паказвае, што пры адсутнасці ўнутраных страт змена энергіі электрамагнітнага поля ў аб'ёме адбываецца толькі за кошт магутнасці электрамагнітнага выпраменьвання, пераноснага праз мяжу гэтага аб'ёму.

Вектар Пойнтынга звязаны з імпульсам электрамагнітнага поля[34]:

дзе інтэграванне вырабляецца па ўсёй прасторы. Электрамагнітная хваля, паглынаючыся або адлюстроўваючыся ад некаторай паверхні, перадае ёй частку свайго імпульсу, што праяўляецца ў форме светлавога ціску. Эксперыментальна гэты эфект ўпершыню назіраўся П. Н. Лебедзевым ў 1899 годзе.

Патэнцыялы

Скалярныя і вектарныя патэнцыялы

Закон Фарадэя і закон Гауса для магнітнай індукцыі выконваюцца тоесна, калі электрычнае і магнітнае поля выразіць праз скалярны і вектарны патэнцыялы[35]:

СГС
СІ

Пры дадзеных электрычным і магнітным палях, скалярны і вектарны патэнцыялы вызначаны неадназначна. Калі — адвольная функцыя каардынат і часу, то наступнае пераўтварэнне не зменіць значэнне палёў:

СГС
СІ

Падобныя пераўтварэнні іграюць важную ролю ў квантавай электрадынаміцы і ляжаць у аснове лакальнай калібравальнай сіметрыі электрамагнітнага ўзаемадзеяння. Лакальная калібравальная сіметрыя ўводзіць залежнасць ад каардынат і часу ў фазу глабальнай калібравальнай сіметрыі, якая, у сілу тэарэмы Нётэр, прыводзіць да закона захавання зараду.

Неадназначнасць вызначэння патэнцыялаў аказваецца зручнай для накладання на іх дадатковых умоў, званых каліброўкай. Дзякуючы гэтаму, ўраўненні электрадынамікі прымаюць больш просты выгляд. Разгледзім, напрыклад, ўраўненні Максвелла ў аднастайных і ізатропных асяроддзях з дыэлектрычнай () і магнітнай () пранікальнасцямі. Для дадзеных і заўсёды можна падабраць такую ​​функцыю , каб выконвалася калібравальная ўмова Лорэнца[36]:

СГС
СІ

У гэтым выпадку тыя ўраўненні Максвела, што засталіся, ў аднастайных і ізатропных асяроддзях могуць быць запісаныя ў наступным выглядзе:

СГС
СІ

дзе — аператар Д'Аламбера, які і ў сістэме СГС, і ў сістэме СІ мае выгляд:

Такім чынам, 8 ураўненняў Максвела для кампанент электрамагнітнага поля (2 вектарных і 2 скалярных) пры дапамозе патэнцыялаў могуць быць зведзены да 4 ураўненняў (скалярнаму для і вектарнаму для ). Вырашэння гэтых ураўненняў для кропкавага зарада, які рухаецца адвольна, называюцца патэнцыяламі Ліенара — Віхерта[37]..

Магчыма ўвядзенне іншых калібровак. Так, для рашэння шэрагу задач зручнай аказваецца кулонаўская каліброўка:

У гэтым выпадку:

СГС
СІ

,

дзе — саленаідальная частка току ().

Першае ўраўненне апісвае імгненнае (без запазнення) дзеянне кулонаўскай сілы, паколькі кулонаўская каліброўка неінварыянтная адносна пераўтварэнняў Лорэнца. Пры гэтым энергію кулонаўскага ўзаемадзеяння можна аддзяліць ад астатніх узаемадзеянняў, што палягчае квантаванне поля ў гамільтанавым фармалізме[38].

Вектарны патэнцыял іграее вялікую ролю ў электрадынаміцы і ў квантавай тэорыі поля, аднак для даследавання працэсаў распаўсюджвання электрамагнітных хваль у адсутнасць токаў і зарадаў яго ўвядзенне часта не прыводзіць да спрашчэння сістэмы, а зводзіцца да простай замены вектараў электрычнага і магнітнага поля на іншы аналагічны вектар, апісваны тымі ж ураўненнямі. Так, для гарманічных палёў вектарны патэнцыял будзе проста прапарцыянальны электрычнаму полі (скалярны патэнцыял пры гэтым можна пакласці роўным нулю).

Вектары Герца

  • У 1887 годзе Генрых Герц прапанаваў замест непасрэднага рашэння ўраўненняў Максвела для двух вектарных функцый электрычнага і магнітнага палёў або скалярнага і вектарнага патэнцыялаў перайсці да новай адзінай вектарнай функцыі, якая носіць цяпер імя электрычнага вектара Герца і дазваляе ў некаторых выпадках спрасціць рашэнне электрадынамічных задач, зводзячы іх да вырашэння скалярнага хвалевага ўраўнення.
СГС
СІ

Заўважым, што скалярны і вектарны патэнцыялы, выражаныя праз вектар Герца, аўтаматычна задавальняюць калібравальнай умове Лорэнца. Вектар Герца ўлічвае усе палі, звязаныя з вольнымі зарадамі і іх токамі.

Падстаўляючы выразы для палёў праз электрычны вектар у два апошнія ўраўненні Максвела, можна атрымаць [39][40]:

СГС
СІ

Тут уведзены вектар палярызацыі свабодных зарадаў і токаў:

(пры гэтым ураўненне бесперапыннасці для зарада аўтаматычна выконваецца).

Такім чынам, электрычны вектар Герца вызначаецца хвалевымі ўраўненнямі, у правай частцы якіх вынікае палярызаванасць, абумоўленая свабоднымі, альбо свабоднымі і звязанымі зарадамі, г. зн. электрычнымі дыпольныя момантамі.

  • У 1901 годзе парны электрычнаму вектару Герца магнітны вектар, які таксама традыцыйна называюць імем Герца, увёў італьянскі фізік Аўгуста Рыгі[41].
СГС
СІ

Паколькі палі, апісваныя магнітным вектарам Герца, не залежаць ад свабодных зарадаў і токаў, а магнітныя манаполі не выяўлены, патэнцыялы задавальняюць каліброўцы Лорэнца ў выраджаным выглядзе — так званай кулонаўскай каліброўцы (, ).

Аналагічным чынам можна атрымаць ураўненні для магнітнага патэнцыялу Герца, падстаўляючы выяўленыя праз яго палі ў трэцяе і чацвёртае ўраўненні Максвела без току:

СГС
СІ

Дзеянне іншых магнітных палёў, звязаных з знешнімі крыніцамі, можа быць улічана па аналогіі з электрычным вектарам Герца увядзеннем у правыя часткі дадатковай магнітнай палярызацыі .

Такім чынам, вылучаецца два тыпы электрамагнітных палёў, якія выражаюцца праз электрычны і магнітны патэнцыялы Герца, а адвольнае поле можна прадставіць у выглядзе сумы такіх палёў. Палі, якія выражаюцца праз электрычны вектар Герца, носяць назву палёў электрычнага тыпу або папярочна-магнітных (TM) палёў, паколькі магнітнае поле для іх артаганальнага кірунку вектара Герца. Адпаведна, палі, якія выражаюцца праз магнітны вектар Герца, называюць палямі магнітнага тыпу або папярочна-электрычнымі палямі (TЕ), электрычнае поле ў якіх артаганальнае спараджальнаму вектару Герца. Палі TM можна прадставіць як палі, якія нараджаюцца размеркаванымі ў прасторы электрычнымі дыполяў, а палі TE, адпаведна, магнітнымі. Вектарныя патэнцыялы Герца, у сваю чаргу, могуць быць у многіх выпадках выражаныя праз скалярныя патэнцыялы.

Патэнцыялы Дэбая

У электрадынаміцы шырока выкарыстоўваюцца скалярныя патэнцыялы, прапанаваныя Дэбаям[42].

Хвалевае ўраўненне ўяўляе сабой сістэму трох звязаных скалярных ураўненняў, якія распадаюцца на тры скалярных ураўненні Гельмгольца толькі ў дэкартавай сістэме каардынат. Для зручнасці пошуку рашэнняў, якія задавальняюць межавым ўмовам, пажадана выбіраць каардынатныя сістэмы, каардынатныя паверхні якіх блізкія або супадаюць з паверхнямі межаў. Адзін з падыходаў да вырашэння вектарнага ўраўнення Гельмгольца складаецца ва ўвядзенні скалярных функцый , якія задавальняюць скалярнаму хвалеваму ўраўненні Гельмгольца, праз якія затым могуць быць выражаныя вектарныя палі[43]:

Тут — некаторая вектарная функцыя каардынат. Вектар , апісвае патэнцыйную частку поля і яго можна пакласці роўным нулю пры адсутнасці свабодных зарадаў .

Калі для некаторай артаганальнай каардынатнай сістэмы існуе функцыя , прапарцыянальная каардынатнаму вектару, то адвольнае вектарнае поле, якая адпавядае вектарнаму ўраўненні Гельмгольца ў гэтай сістэме, можна прадставіць у выглядзе сумы вектарных функцый, прапарцыянальным вектарам и . Як вынікае з ураўненняў Максвела, электрычнаму полі, прапарцыянальнаму , адпавядае магнітнае поле тыпу і наадварот. Пры гэтым вектарныя патэнцыялы адпавядаюць вектарам Герца. Паколькі ў гэтым выпадку поле, прапарцыянальнае , нармальнае вектару , яго кампаненты з'яўляюцца тангенцыяльнымі да адпаведнай каардынатнай паверхні. Калі мяжы ў задачы, што вырашаецца, супадаюць з адной з такіх каардынатных паверхняў, то задавальненне межавым ўмовам істотна спрашчаецца.

Такое прадстаўленне магчыма толькі ў абмежаваным ліку артаганальных каардынатных сістэм[44]. У дэкартавай сістэме каардынат у якасці вектара можа выступаць любы каардынатны вектар. Адпаведныя рашэнні ўяўляюць сабой плоскія хвалі. Для цыліндрычнай сістэмы каардынатаў , для сферычнай . Акрамя таго, такое прадстаўленне магчыма ў канічнай, а таксама адносна восі ў парабалічнай і эліптычнай цыліндрычных сістэмах каардынат.

Вектары Рымана — Зільберштэйна

Калі ўвесці комплексны вектар Рымана — Зільберштэйна і комплексна спалучаны яму вектар [45][46][47]:

СГС
СІ

то ўраўненні Максвелла зводзяцца да двух:

СГС
СІ

Пры адсутнасці іншых зарадаў і токаў застаецца толькі другое ўраўненне (першае з-за роўнасці дывергенцыі ротара нуля ў гэтым выпадку задавальняецца аўтаматычна з дакладнасцю да кампаненты, якая не залежыць ад часу):

У адрозненне ад хвалевага ўраўнення, якое атрымліваецца ў гэтым выпадку для вектараў поля або патэнцыялу, апошняе вектарнае дыферэнцыяльнае ўраўненне мае першы, а не другі парадак і таму ў шэрагу выпадкаў можа быць прасцей для рашэння.

Для гарманічнага поля з залежнасцю вектар з'яўляецца уласным вектарам аператара ротара:

Пры абранай нарміроўцы мае сэнс комплекснай амплітуды электрамагнітнага поля, а яго квадрат модуля

мае сэнс шчыльнасці энергіі поля.

Вектар Пойнтынга:

Вектары и можна інтэрпрэтаваць як хвалевыя функцыі цыркулярна палярызаваных фатонаў[46].

Крыніцы

  1. Эрстэд Г. Х. «Вопыты, якія адносяцца да дзеяння электрычнага канфлікту на магнітную стрэлку»
  2. J.-B. Biot and F. Savart, Note sur le Magnétisme de la pile de Volta. — Annales Chim. Phys. — vol. 15. — pp. 222—223 (1820)
  3. Марио Льоцци. История физики. — М.: Мир. — С. 253-257. — 464 с.
  4. Максвелл Дж.К. Избранные сочинения по теории электромагнитного поля. — М.: ГИТТЛ, 1952. — С. 349. — 687 с.
  5. Максвелл Дж.К. Избранные сочинения по теории электромагнитного поля. — М.: ГИТТЛ, 1952. — С. 632. — 687 с.
  6. Maxwell J. C. On Faraday's Lines of Force // Transactions of the Cambridge Philosophical Society. — 1856. — Т. 10. — № 1. — С. 155—229.
  7. 7,0 7,1 7,2 Шапиро И. С. К истории открытия уравнений Максвелла // УФН. — 1972. — Т. 108. — № 2. — С. 319-333.
  8. Maxwell J. C. On Physical Lines of Force // Philosophical Magazine : Ser. 4. — 1861,1862. — Т. 11,13. — С. 161—175, 281—291, 338—347; 12—23, 85—95.
  9. Maxwell J. C. (1865). "A dynamical theory of the electromagnetic field". Philosophical Transactions of the Royal Society of London 155: 459—512. http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/19/A_Dynamical_Theory_of_the_Electromagnetic_Field.pdf. 
  10. Maxwell J. C. A Treatise on Electricity And Magnetism, 1873
  11. Paul J. Nahin (2002). Oliver Heaviside: the life, work, and times of an electrical genius of the Victorian age. JHU Press. pp. 108–112. ISBN 9780801869099. http://books.google.com/books?id=e9wEntQmA0IC&pg=PA109. 
  12. Aharonov, Y; Bohm, D (1959). "Significance of electromagnetic potentials in quantum theory". Physical Review 115: 485–491. doi:10.1103/PhysRev.115.485. 
  13. Nahin P. J. Oliver Heaviside: the life, work, and times of an electrical genius of the Victorian age. — JHU Press. — pp. 108—112. — ISBN 978-0-8018-6909-9
  14. 14,0 14,1 Einstein A. Zur Elektrodynamik bewegter Körper Ann Phys. — 1905. — Bd 17. — S. 891. Пераклад на рускую мову: Эйнштейн А. К электродинамике движущихся тел
  15. Myron Evans (2001). Modern nonlinear optics. John Wiley and Sons. p. 240. ISBN 9780471389316. http://books.google.com/books?id=9p0kK6IG94gC&pg=PA240&dq=maxwell-heaviside+equations&lr=&as_brr=0&ei=wXc4SqfQHZ-OkATL2pi9BQ. 
  16. Larmor J. Aether and matter. — Cambridge. — 1900. — p. 162—193.
  17. Lorentz H. A. Electromagnetic Phenomena in a System Moving with any Velocity Smaller than that of Light. — Amst. Proc. — V. 6. — P. 809; 1904. — V. 12. — P. 986.
  18. Poincare H. Sur la dynainique de l’electron. — Comptes Rendues, Acad. Sci. — Paris. — 1905. — V. 140. — P. 1504.
  19. Выключэннем сталі эксперыменты Мілера на гары Маунт Вільсан. У далейшым паўтор гэтых эксперыментаў іншымі даследчыкамі на больш дакладнай апаратуры эфекту не выявіў. Гл. Паўтарэнні вопыту Майкельсона
  20. Берестецкий, В. Б., Лифшиц, Е. М., Питаевский, Л. П. Квантовая электродинамика. — Издание 4-е, исправленное. — М.: Физматлит, 2002. — 720 с. — («Теоретическая физика», том IV). — ISBN 5-9221-0058-0
  21. Л. Б. Окунь. Приложение I // Физика элементарных частиц. — М.: Наука, 1984.
  22. Д. В. Сивухин О международной системе физических величин (руск.)  // УФН. — 1979. — Т. 129. — № 10. — С. 335.
  23. С. Г. Каршенбойм Фундаментальные физические константы: роль в физике и метрологии и рекомендованные значения (руск.)  // УФН. — 2005. — Т. 175. — № 3. — С. 271.
  24. Яны змяшчаюць дывергенцыі вектарных палёў, якія з'яўляюцца скалярамі.
  25. Напрыклад, у правадніку звычайна прысутнічаюць носьбіты зараду як мінімум двух тыпаў рознага знака, таму сумарная шчыльнасць зараду ў правадніку можа раўняцца нулю, а ток, тым не менш, можа быць (і тады яго шчыльнасць будзе ненулявая).
  26. Болотовский Б. М. Оливер Хевисайд. — М.: Наука, 1985. — С. 43-44. — 260 с.
  27. O. Haviside, «On the Electromagnetic Effects due to the Motion of Electrification through a Dielectric», Phil.Mag. S.5 27, p. 324, 1889.
  28. Карцев В. П. «Приключения великих уравнений», М.: Знание, 1986.
  29. Mohr, Peter J.; Taylor, Barry N.; Newell, David B. (2008). CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants: 2006. Rev. Mod. Phys. 80: 633—730. doi:10.1103/RevModPhys.80.633.
  30. Значэнні фізічных пастаянных
  31. Напрыклад, Таблицы физических величин / акад. И. К. Кикоин. — М.: Атомиздат, 1976.
  32. Refractive index database
  33. Стрэттон Дж. А. Теория электромагнетизма. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. — С. 42-45. — 539 с. — 8000 экз.
  34. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — С. 112-113. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7
  35. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — С. 69-76,95-96. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7
  36. Стрэттон Дж. А. Теория электромагнетизма. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. — С. 34-35. — 539 с. — 8000 экз.
  37. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — С. 215-218. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7
  38. Гинзбург В. Л. Теоретическая физика и астрофизика. — М.: Наука, 1981. — 12 с.
  39. Стрэттон Дж. А. Теория электромагнетизма. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. — С. 37-40. — 539 с. — 8000 экз.
  40. Essex E. A. Hertz vector potentials of electromagnetic theory. — American Journal of Physics. — 45. — 1977. — 1099—1101.
  41. A. Nisbet, «Hertzian electromagnetic potentials and associated gauge transformations», Proc. of the Royal Soc. of London. Ser. A., 231, #1185, 250—263, 1955.
  42. P. Debye Der Lichtdruck auf Kugeln von beliebigem Material // Annalen der Physik. — 1909. — Т. 30. — С. 57—136.
  43. Стрэттон Дж. А. Теория электромагнетизма. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. — С. 345-348. — 539 с. — 8000 экз.
  44. {{{загаловак}}}. — 2004. — Т. 52.
  45. L. Silberstein Electromagnetische Grundgleichungen in bivectorieller Behandlung // Annalen der Physik. — 1907. — Т. 22.
  46. 46,0 46,1 I. Bialynicky-Birula Photon wave function (англ.)  // Progress in Optics. — 1996. — Т. 36. — С. 245—294.
  47. Стрэттон Дж. А. Теория электромагнетизма. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. — С. 40—42. — 539 с. — 8000 экз.

Заўвагі

  1. 1,0 1,1 Калі свабодныя магнітныя манаполі будуць эксперыментальна выяўлены, то ў закон Гауса для магнітнага поля трэба будзе ўвесці шчыльнасці магнітных зарадаў, а ў закон індукцыі Фарадэя — шчыльнасці іх токаў.

Гл. таксама

Літаратура

Лагатып Вікіцытатніка
У Вікікрыніцах ёсць тэксты па тэме
Ураўненні Максвела


Гістарычныя публікацыі
Гісторыя развіцця
Агульныя курсы фізікі
  • Астахов А. В., Широков Ю. М. Курс физики, Т. II, Электромагнитное поле. — М.: Наука, 1980. — 360 с.
  • Баскаков С. И. Основы электродинамики. — М.: Сов. радио, 1973. — 248 с.
  • Калашников С. Г. Электричество (Общий курс физики, т. 2).. — М.: Физматлит, 6-е изд., 2003. — 624 с. — ISBN 5-9221-0312-1.
  • Матвеев А. Н. Электричество и магнетизм. — М.: Высшая школа, 1983.
  • Никольский В. В., Никольская Т. И. Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Наука, 1989.
  • Пеннер Д. И., Угаров В. А. Электродинамика и специальная теория относительности. М.: Просвещение, 1980.
  • Парселл Э. Электричество и магнетизм. Берклеевский курс физики. Том 2. М.: Наука, 1971.
  • Тоннела М. А. Основы электромагнетизма и теории относительности. М.: ИЛ, 1962.
  • Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Том 5. Электричество и магнетизм. М.: Мир, 1965
  • Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Том 6. Электродинамика. М.: Мир, 1966
Курсы тэарэтычнай фізікі
Рашэнні ўраўненняў Максвела
  • Баландин М. Ю., Шурина Э. П. Векторный метод конечных элементов: Учебное пособие. — Новосибирск: НГТУ, 2001. — 69 с.
  • Вайнштейн Л. А. Электромагнитные волны. — М.: Радио и связь, 1988.
  • Вонсовский С. В. Магнетизм. Магнитные свойства диа-, пара-, ферро-, антиферро-, и ферримагнетиков. — М.: Наука, 1971.
  • Гинзбург В. Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. — 2-е изд. — М.: Наука, 1967.
  • Сильвестер П. и Феррари Р. Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков. — М.: Мир, 1986. — 336 с.

Спасылкі