호지 추측

호지 추측(Hodge推測, 영어: Hodge conjecture)은 대수기하학에서 복소 비특이 대수다양체대수적 위상수학에 대한 주요 미해결 문제이다.[1] 이 추측의 개요는 드람 코호몰로지류들이 대수적이라는 것이다. 즉, 이 코호몰로지류들은 부분 대수다양체들로 나타낼 수 있는 호몰로지류들의 푸앵카레 쌍대들로 나타낼 수 있다는 것이다.

정의

복소 n차원의 콤팩트 연결 복소 대수다양체 X가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이 위에는 코호몰로지를 다음과 같은 위상수학·해석학·대수기하학을 사용하여 세 가지 방법으로 정의할 수 있다.

호지 코호몰로지와 특이 코호몰로지 사이의 관계는 이미 잘 알려져 있다.[2][3][4]:155 호지 추측은 이들과 대수기하학적 코호몰로지 사이의 관계에 대한 추측이다.

호지 이론

임의의 콤팩트 차원 복소다양체 가 주어졌다고 하자. 이는 실수 차원 유향 매끈한 다양체이므로, 대수적 위상수학을 통해 특이 코호몰로지를 정의할 수 있다.

만약 가 추가로 켈러 다양체의 구조가 주어졌다면, 호지 이론을 사용하여 특이 코호몰로지꼬임 부분군에 대한 몫군을 다음과 같이 돌보 코호몰로지 군으로 추가로 분해할 수 있다.

여기서 조화 형식으로 표현되는 코호몰로지류들로 구성되는 부분군이다. 호지 이론에 따라, 특정 복소좌표계 에서, (p,q)차 코호몰로지류들은 다음과 같은 꼴의 복소 미분 형식들의 합으로 표현된다.

코호몰로지 상의 합곱에 상응하는 조화형식쐐기곱을 취하면 합곱은 다음과 같이 호지 분해로 변환된다.

대수적 코호몰로지

표수가 0인 체 위의 차원 비특이 사영 대수다양체라고 하자. X대수적 순환X 다양체의 형식적 선형 결합으로, 다음과 같은 꼴이다.

여기서 계수 정수이거나 유리수일 수 있다. 여기서 대수적 순환의 코호몰로지류를 이것을 구성하는 코호몰로지류들의 합으로 정의할 수 있으며, 이렇게 나타낼 수 있는 코호몰로지류를 대수적 코호몰로지류라고 한다.

호지 이론과 대수적 코호몰로지의 비교

가 복소수체 위의 임의의 차원 비특이 사영 대수다양체라고 하자. 그렇다면 가가 정리에 따라 이에 대응되는 사영 공간에 매장될 수 있는 복소다양체 을 정의할 수 있으며, 의 임의의 차원 부분 대수다양체 에 대하여 이에 대응하는 복소다양체의 부분 복소다양체

가 존재한다. 그렇다면 위의 임의의 복소 미분 형식 에 대하여, 다음과 같은 적분을 정의할 수 있다.

기본류이므로, 만약 라면 이 적분은 0이다. 보다 추상적으로, 이 적분은 부분 복소다양체 로 나타내어지는 호몰로지류 로 표현되는 코호몰로지류 에 대한 교곱

으로 생각할 수 있다. 푸앵카레 쌍대성에 의해, 의 호몰로지류의 짝이 되는 코호몰로지류 를 정의할 수 있다. 이 교곱은 의 합곱에 기본류 교곱하여 계산할 수 있다. 코호몰로지 는 호지 분해되기 때문이다. 이상과 같이 이 코호몰로지류에 차수가 가 아닌 임의의 호몰로지류를 합곱할 경우 0이 된다. 따라서 이기 때문에

이다.

이에 따라, 유리수 계수 대수적 순환군 에서 특이 코호몰로지로 가는 자연스러운 사상

이 존재한다. 여기서

호지 류(영어: Hodge class)의 군이라고 한다.

그렇다면 호지 추측은 다음과 같은 문제이다.

의 모든 호지 류는 의 (유리수 계수) 대수적 코모호몰로지류인가? 즉, 모든 에 대하여, 전사 함수인가?

일반화

복소 사영 대수다양체라는 조건은 일반적인 켈러 다양체로 약화시킬 수 없다. 1977년 스티븐 저커(영어: Steven Zucker)는 (p,p)차 해석적 유리수 계수 코호몰로지가 대수적이지 않는, 사영 대수다양체가 아닌 복소 원환면이 존재함을 보였다.[5]

역사

1930년대에 스코틀랜드의 기하학자인 윌리엄 밸런스 더글러스 호지호지 이론을 개발하였고, 이 이론을 집대성한 1941년 저서 《조화 적분의 이론과 응용》[6]에서 이 추측을 처음으로 발표하였다. 호지가 1950년 세계 수학자 대회 강의에 이 문제를 언급하면서 호지 추측은 수학계의 주요 미해결 문제로 부상하였다.[7]

2000년 클레이 수학연구소는 호지 추측을 밀레니엄 문제의 하나로 선정하였고, 이 문제의 증명이나 반증에 대하여 100만 미국 달러의 상금을 걸었다.[1]

같이 보기

각주

  1. Deligne, Pierre (2006). 〈The Hodge conjecture〉 (PDF). Carlson, J.; Jaffe, Arthur; Wiles, Andrew. 《The millennium prize problems》. American Mathematical Society. 45–56쪽. ISBN 978-0-8218-3679-8. Zbl 1194.14001. 
  2. Cartan, Henri; Samuel Eilenberg (1956). 《Homological Algebra》. Princeton University Press. OCLC 529171. 
  3. Eilenberg, Samuel; J. C. Moore (1965). 《Foundations of relative homological algebra》. Memoirs of the American Mathematical Society 55. American Mathematical Society. OCLC 1361982. 
  4. Spanier, Edwin H. (1966). 《Algebraic Topology》. Springer. ISBN 0-387-90646-0. 
  5. Zucker, S. (1977). “The Hodge conjecture for cubic fourfolds” (PDF). 《Compositio Mathematica》 34: 199–209. Zbl 0347.14005. 
  6. Hodge, W.V.D. (1941). 《Theory and Applications of Harmonic Integrals》. Cambridge University Press. 
  7. Hodge, W. V. D. (1952). 〈The topological invariants of algebraic varieties〉 (PDF). 《Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Cambridge, Mass., Aug. 30 – Sept. 6, 1950, vol. 1》. 182–192쪽. Zbl 0048.41701. 

참고 문헌

바깥 고리