Przestrzeń sprzężona (analiza funkcjonalna)

Przestrzeń sprzężona (także dualna lub dwoista) – w analizie funkcjonalnej przestrzeń wszystkich ciągłych funkcjonałów liniowych określonych na danej przestrzeni unormowanej lub, nieco ogólniej, przestrzeni liniowo-topologicznej. Przestrzeń sprzężoną do przestrzeni oznacza się często lub . Parę nazywa się parą dualną. Współczesna terminologia pochodzi od Bourbakiego[1]. W przeszłości były też używane nazwy: polarer Raum (niem., dosł. przestrzeń polarna/biegunowa) – Hans Hahn[2], transponierter Raum (niem., dosł. przestrzeń transportowa) / espace conjugué (fr., dosł. przestrzeń dołączona) – Juliusz Schauder[3], adjoint space (ang., dosł. przestrzeń dołączona) – Leonidas Alaoglu[4].

W kontekście analizy funkcjonalnej dla odróżnienia od przestrzeni sprzężonej algebraicznie, w której nie zakłada się ciągłości funkcjonałów, mówi się czasami o przestrzeni sprzężonej topologicznie. W skrajnych przypadkach przestrzeń sprzężona algebraicznie może mieć bogatą strukturę [a], podczas gdy sprzężona topologicznie może być trywialna. W klasie przestrzeni skończenie wymiarowych oba pojęcia pokrywają się.

Wyniki ogólnej teorii przestrzeni sprzężonych znajdują zastosowanie w wielu dziedzinach matematyki, np. w równaniach różniczkowych i całkowych, czy teorii aproksymacji. Przykładowo teoria dystrybucji zrodzona z potrzeb fizyki, zbudowana jest w oparciu o funkcjonały liniowe i ciągłe na pewnej przestrzeni liniowo-topologicznej (tzw. przestrzeni funkcji próbnych ).

Definicja

Niech będzie przestrzenią liniowo-topologiczną nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych. Zbiór wszystkich funkcjonałów liniowych i ciągłych

nazywa się przestrzenią sprzężoną do .

Uwagi

  • Przestrzeń sprzężona jest przestrzenią liniową z działaniami określonymi punktowo, to znaczy jeśli , a jest skalarem, to
dla wszystkich .
  • W przypadku, gdy nie zakłada się o nic ponad bycie przestrzenią liniowo-topologiczną, jej przestrzeń sprzężona może być trywialna, tzn. może być złożona tylko z odwzorowania tożsamościowo równego zeru. Przykładem może być przestrzeń dla [5]. Innym przykładem mogą być przestrzenie Hardy'ego Hp dla 0<p<1 [6]
  • Postać przestrzeni sprzężonej do danej przestrzeni liniowo-topologicznej jest ściśle związana z ilością zbiorów wypukłych w samej przestrzeni. Następujące fakty (w tym pewien wniosek z twierdzenia Hahna-Banacha) wiążą z wypukłymi podzbiorami .
    • Funkcjonały Minkowskiegopodaddytywne i dodatnio jednorodne. Funkcjonały zbalansowanych zbiorów Minkowskego są półnormami[7].
    • Wniosek z twierdzenia Hahna-Banacha: Jeżeli jest rzeczywistą lub zespoloną przestrzenią liniową, a półnormą na tej przestrzeni, to dla każdego punktu istnieje funkcjonał liniowy na przestrzeni taki, że i
    dla .
  • Zbalansowanym zbiorom wypukłym odpowiadają funkcjonały liniowe. Oznacza to w szczególności, że przestrzenie liniowo-topologiczne lokalnie wypukłe (a więc i przestrzenie unormowane) mają nietrywialne przestrzenie sprzężone.

Przestrzeń sprzężona do przestrzeni unormowanej

W dalszej części artykułu oznaczać będzie nietrywialną przestrzeń unormowaną nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych. W przestrzeni można w naturalny sposób wprowadzić normę: jest nią funkcjonał

.

O ile nie prowadzi to do nieporozumień, normę w przestrzeni często oznacza się tym samym symbolem, co normę w . W przeciwnym przypadku przy jej symbolu umieszcza się w indeksie dolnym oznaczenie przestrzeni, w której rozpatrywana jest norma, np. .

dla .
  • Jeżeli jest przestrzenią ośrodkową, to też nią jest. Twierdzenie odwrotne jest fałszywe, mianowicie przestrzenią sprzężoną do (ośrodkowej) przestrzeni jest przestrzeń , która nie jest ośrodkowa.

Topologie w przestrzeni sprzężonej

Jeśli jest topologią w przestrzeni liniowo-topologicznej , to symbolem oznacza się słabą topologię w , to znaczy najsłabszą topologię, względem której wszystkie odwzorowania z są ciągłe.

W przestrzeni można rozważać również topologię *-słabą, to znaczy najsłabszą topologię, względem której każde z odwzorowań

postaci

jest ciągłe. z topologią *-słabą jest przestrzenią lokalnie wypukłą.

Podsumowując, jeżeli jest przestrzenią unormowaną, to w przestrzeni można wprowadzić co najmniej trzy różne topologie:

  • mocną topologię , czyli topologię wyznaczoną przez normę w ,
  • słabą topologię ,
  • *-słabą topologię ,

Zachodzi między nimi następujący związek:

,

przy czym

wtedy i tylko wtedy, gdy jest przestrzenią refleksywną (czyli gdy jest przestrzenią refleksywną). Równość ta jest konsekwencją jednego z fundamentalnych twierdzeń analizy funkcjonalnej – tzw. twierdzenia Banacha-Alaoglu. Równość topologii *-słabej i mocnej zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy jest skończenie wymiarowa.

  • Niech będzie przestrzenią Banacha. Podzbiór przestrzeni jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest *-słabo ograniczony.
  • Jeśli jest przestrzenią Banacha, to *-słabo zwarte podzbiory są ograniczone.
  • Jeśli jest przestrzenią nieskończenie wymiarową, to każdy niepusty *-słabo otwarty podzbiór jest nieograniczony. Co więcej, każde *-słabe (otwarte) otoczenie zera zawiera nieskończenie wymiarową podprzestrzeń liniową.
  • Topologia *-słaba jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest skończenie wymiarowa.

Ograniczona topologia *-słaba

Istnieje jeszcze jeden, w pewien sposób naturalny, rodzaj topologii wprowadzanej w przestrzeni – tzw. ograniczona topologia *-słaba zdefiniowana w roku 1950 przez Jeana Dieudonné[8].

Niech dla każdego oraz dla każdego ciągu punktów przestrzeni zbieżnego (w normie) do zera będzie dany zbiór

.

Rodzina zbiorów tej postaci tworzy bazę pewnej topologii w przestrzeni , którą nazywa się ograniczoną topologią *-słabą. Przestrzeń z tą topologią jest przestrzenią lokalnie wypukłą. Jeżeli symbol oznaczać będzie ograniczoną topologię *-słabą, to między wspomnianymi wcześniej topologiami zachodzi następujący związek:

.

Ograniczona topologia *-słaba oraz topologia *-słaba pokrywają się (w sensie topologii podprzestrzeni) na ograniczonych podzbiorach . Własność ta uzasadnia nazwę tego pojęcia. Natychmiastowym wnioskiem z tej obserwacji jest fakt, iż jeśli jest ograniczonym ciągiem punktów , to jest on zbieżny w sensie ograniczonej topologii *-słabej do pewnego punktu tej przestrzeni wtedy i tylko wtedy, gdy jest *-słabo zbieżny do .

Mimo, iż z topologią normy jest przestrzenią Banacha, to jednak poniższe twierdzenie dość dobrze ilustruje związek zupełności przestrzeni z topologią *-słabą jej przestrzeni sprzężonej:

Jeśli jest przestrzenią Banacha, to topologie: *-słaba i ograniczona *-słaba pokrywają się, to znaczy
.

Prawdziwe, jest też twierdzenie odwrotne, które można sformułować nieco inaczej:

Jeśli jest przestrzenią unormowaną, która nie jest przestrzenią Banacha, to
.

Twierdzenie Kreina-Šmuliana

Przy okazji omawiania (ograniczonej) *-słabej topologii w przestrzeni sprzężonej wartym odnotowania jest twierdzenie Kreina-Šmuliana (nazywane czasem twierdzeniem Banacha-Kreina-Šmuliana) udowodnione w 1940 przez Marka Kreina i Witolda Lwowicza Šmuliana[9].

Niech będzie przestrzenią Banacha oraz będzie kulą jednostkową w . Jeśli jest wypukłym podzbiorem , to jest on *-słabo domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zbiór

jest *-słabo domknięty.

Reprezentacje elementów

W przypadku wielu konkretnych przestrzeni, takich jak:

można opisać postać elementów ich przestrzeni sprzężonych i dokonać pewnych wygodnych utożsamień. Wiele z twierdzeń reprezentacyjnych tego typu nosi nazwisko Frigyesa Riesza.

Przestrzenie Hilberta

Niech będzie przestrzenią Hilberta. Dla każdego istnieje element taki, że

dla każdego . Wynika stąd, że każda rzeczywista/zespolona przestrzeń Hilberta jest liniowo/antyliniowo izometrycznie izomorficzna z . Wynik ten ma zasadnicze znaczenie dla teorii przestrzeni Hilberta, a także znajduje zastosowanie, na przykład w mechanice kwantowej.

Przestrzenie funkcji ciągłych

Istnieje wiele wariantów twierdzenia Riesza związanych z reprezentacją funkcjonałów liniowych i ciągłych na przestrzeniach funkcji ciągłych. Jednym z ogólniejszych przypadków jest twierdzenie reprezentacyjne dla przestrzeni funkcji ciągłych znikających w nieskończoności. Mówi się, że funkcja

,

gdzie jest przestrzenią lokalnie zwartą, znika w nieskończoności, gdy dla dowolnego istnieje zbiór zwarty taki, że

dla .

Przestrzeń funkcji ciągłych na przestrzeni lokalnie zwartej , znikających w nieskończoności oznacza się symbolem .

Gdy jest przestrzenią zwartą, to każda określona na niej funkcja zespolona znika w nieskończoności. Z tej przyczyny często używa się, w tym przypadku, symbolu zamiast .

Twierdzenie Riesza

Niech będzie lokalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa. Dla każdego istnieje dokładnie jedna przeliczalnie addytywna regularna zespolona miara borelowska taka, że

dla każdego . Ponadto

,

gdzie oznacza wahanie całkowite miary . Przez regularną miarę zespoloną rozumie się miarę zespoloną, której wahanie całkowite jest miarą regularną (w klasycznym sensie). Więcej na temat twierdzenia Riesza można znaleźć w pracy Williama Arvesona, Notes on measure and integration in locally compact spaces [10].

Wspomnianie wyżej twierdzenie Riesza-Markowa sformułowane jest w najogólniejszej i bardzo abstrakcyjnej postaci. W roku 1909[11][12] Riesz udowodnił to twierdzenie dla przedziałów domkniętych na prostej, tzn. gdy (wykazał on, że funkcjom ciągłym odpowiadają - w sposób niejednoznaczny - funkcje o ograniczonym wahaniu, które można wykorzystać do sformułowania tezy twierdzenia. Całka pojawiająca się w tezie była całką Stieltjesa względem właśnie takiej funkcji). Przypadek, gdy został udowodniony w roku 1913 przez Johanna Radona[13].

Stefan Banach udowodnił to twierdzenie dla zwartych przestrzeni metrycznych w roku 1937 [14], a rok później Andriej Markow dla przestrzeni normalnych[15]. Kolejno w latach 1940 i 1941 dowody tego twierdzenia w przypadku przestrzeni całkowicie regularnych i przestrzeni zwartych podali A.D. Aleksandrow[16] i Shizuo Kakutani[17].

Do innych twierdzeń reprezentacyjnych tego typu należy, na przykład, twierdzenie Riesza-Skorochoda.

Przestrzenie c i c0

Niech i oznaczają, odpowiednio, przestrzenie ciągów zbieżnych i ciągów zbieżnych do zera (z normą supremum). Wówczas przestrzenie i są izometrycznie izomorficzne z przestrzenią , tj. przestrzenią ciągów sumowalnych. Mówią o tym poniższe twierdzenia Riesza dla przestrzeni i .

Twierdzenie Riesza dla przestrzeni c0

Jeśli , to istnieje dokładnie jeden ciąg taki, że

dla każdego . Z drugiej strony, odwzorowanie określone powyższym wzorem jest funkcjonałem liniowym i ciągłym.

Twierdzenie Riesza dla przestrzeni c

Jeśli , to istnieje dokładnie jeden ciąg taki, że

,

dla każdego , gdzie jest granicą ciągu . Na odwrót, określone powyższym wzorem jest funkcjonałem liniowym ciągłym. Biorąc pod uwagę powyższe dwa twierdzenia wygodnie jest dokonać utożsamienia

.

Przestrzenie Lp

Zobacz też: przestrzeń Lp.

Niech będzie σ-ciałem podzbiorów pewnego niepustego zbioru oraz niech będzie miarą σ-skończoną określoną na . Ponadto, niech będzie ustaloną liczbą z przedziału . Niech

oznacza przestrzeń zespolonych funkcji -mierzalnych, całkowalnych z p-tą potęgą. Jeżeli oraz jest miarą liczącą, to

,

skąd sformułowane niżej twierdzenie Riesza obejmuje także przypadek przestrzeni szeregów sumowalnych w p-tej potędze.

Twierdzenie Riesza

Jeśli , to istnieje dokładnie jedna -mierzalna funkcja taka, że

dla każdego . Przy czym, gdy

  • , to oraz , gdzie ,
  • , to oraz .

Wnioskiem z twierdzenia Riesza jest fakt, że przestrzeń sprzężona do jest izometrycznie izomorficzna z , gdzie (przyjmując ewentualnie umowę, że – zob. wykładniki sprzężone). W związku wygodnie stosować utożsamienie, że

.

Wynik ten został zauważony i udowodniony po raz pierwszy przez Riesza w roku 1909[18] w przypadku, gdy jest przedziałem domkniętym na prostej z miarą Lebesgue'a oraz . Przypadek dla udowodnił, w roku 1919, Hugo Steinhaus[19].

Przestrzeń sprzężona do przestrzeni ciągów ograniczonych

Jeżeli , tzn. jest ciągiem ograniczonym, to jego zbiór wartości jest zawarty w pewnej kuli domkniętej . Wówczas ciąg można utożsamiać z funkcją

.

Skoro jest przestrzenią dyskretną, a przestrzenią zwartą (por. twierdzenie Heinego-Borela), to jest funkcją ciągłą. Jeżeli jest uzwarceniem Čecha-Stone'a przestrzeni , to istnieje dokładnie jedno ciągłe przedłużenie funkcji na (postać nie zależy od wyboru kuli ). Innymi słowy, każdemu elementowi przestrzeni odpowiada pewien element przestrzeni . Odwzorowanie to jest wzajemnie jednoznaczne, ponieważ każda funkcja ciągła na przestrzeni zwartej jest ograniczona (zob. twierdzenie Weierstrassa o osiąganiu kresów), a więc jeśli , to również jest ograniczona, czyli

.

Co więcej, odwzorowanie to jest izometrią. Utożsamiając

można zastosować twierdzenie Riesza dla przestrzeni funkcji ciągłych, z którego wynika, że przestrzeń jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią regularnych, zespolonych miar borelowskich na .

W przypadku przestrzeni można uogólnić powyższą metodę szukania opisu zastępując uzwarcenie Čecha-Stone'a przestrzeni przestrzenią Stone'a algebry miary , to znaczy przestrzeni Stone'a ilorazowej algebry Boole'a

,

gdzie jest ideałem podzbiorów -miary zero zbioru . Wówczas można utożsamiać z przestrzenią regularnych, zespolonych miar borelowskich na .

Przestrzenie Sobolewa

Osobny artykuł: przestrzeń Sobolewa.

Przestrzeń sprzężona do przestrzeni Sobolewa dla jest izometrycznie izomorficzna z podprzestrzenią przestrzeni dystrybucji na o pewnych własnościach (podprzestrzeń ta jest wyposażona w normę związaną z normą w przestrzeni Sobolewa – przestrzeń dystrybucji nie jest przestrzenią normowalną).

Niech będzie otwartym podzbiorem przestrzeni oraz . Dodatkowo niech oznacza liczbę wszystkich wielowskaźników o długości (sumie) nie większej od , tzn.

oraz , czyli niech będzie produktem egzemplarzy przestrzeni . Przestrzeń ta jest przestrzenią Banacha z normą

.

Przestrzeń jest izometrycznie izomorficzna z podprzestrzenią dystrybucji na takich, że

,

dla pewnego i jest wykładnikiem sprzężonym do . Ponadto,

,

gdzie kres brany jest po wszystkich , dla których można przedstawić w powyższej postaci.

Istnieje jeszcze jeden sposób charakteryzacji przestrzeni dla . Mianowicie, przestrzeń można utożsamiać z uzupełnieniem przestrzeni wyposażonej w normę

,

tzn.

gdzie jest wykładnikiem sprzężonym do .

Przestrzeń sprzężona do przestrzeni sprzężonej

Osobny artykuł: przestrzeń refleksywna.

Ponieważ przestrzeń sama w sobie jest przestrzenią unormowaną (a więc przestrzenią liniowo-topologiczną, jeśli rozważać w niej inne naturalne topologie), to można rozważać przestrzeń do niej sprzężoną , oznaczaną dalej symbolem . Dodatkowo oznacza się

,

gdzie liczby w nawiasie oznaczają liczbę gwiazdek. Własności przestrzeni mają szczególne znaczenie podczas badania przestrzeni unormowanych. Odwzorowanie dane wzorem

nazywane jest kanonicznym zanurzeniem przestrzeni w przestrzeń . W związku z tym, iż odwzorowanie jest różnowartościowe, wygodnie jest czasem dokonywać utożsamienia z podprzestrzenią przestrzeni . Klasyczne twierdzenie Goldstine'a[20] mówi, że obraz kuli jednostkowej poprzez odwzorowanie jest gęstym podzbiorem kuli jednostkowej w w tzw. -topologii, tzn. topologii *-słabej w przestrzeni . Przestrzenie unormowane takie, że

nazywane są przestrzeniami refleksywnymi (oczywiście, każda przestrzeń refleksywna jest przestrzenią Banacha jako przestrzeń liniowo homeomorficzna z przestrzenią Banacha ). Przestrzenie refleksywne stanowią ważną klasę przestrzeni Banacha ze względu na ich dobre własności.

Refleksywność a własność Radona-Nikodyma przestrzeni sprzężonej

Istnieje związek między refleksywnością przestrzeni sprzężonej (a więc w konsekwencji przestrzeni ) a posiadaniem przez nią własności Radona-Nikodýma. Zależność tę przedstawia tabela:

jest refleksywna, jeśli: ma własność Radona-Nikodyma, jeśli:
jest silnie wypukła
jest gładka (ang. smooth[b]) jest silnie wypukła.
jest słabo lokalnie jednostajnie wypukła jest gładka
jest silnie gładka (ang. very smooth[b]) jest słabo lokalnie jednostajnie wypukła
jest jednostajnie wypukła jest silnie gładka

gdzie:

  • przestrzeń jest gładka, gdy dla każdego takiego, że istnieje dokładnie jeden taki, że oraz .
  • przestrzeń jest silnie gładka, gdy jest gładka oraz odwzorowanie , takie jak w wyżej, jest ciągłe w sensie [c].
  • przestrzeń jest słabo lokalnie jednostajnie wypukłą, gdy dla każdego ciągu punktów tej przestrzeni takich, że dla każdej liczby naturalnej oraz takiego, że jeśli , to istnieje słaba granica .

Innym kryterium refleksywności związanym z przestrzeniami sprzężonymi wyższego rzędu jest następujący wynik Ivana Singera[21]:

  • jeśli jest silnie wypukła oraz zawiera właściwą podprzestrzeń liniową dla której odwzorowanie kanoniczne jest izometrią, to jest przestrzenią refleksywną.

Uwagi

  1. Każda przestrzeń liniowa ma bazę (jest to równoważne aksjomatowi wyboru). Twierdzenie o przekształceniu liniowym zadanym na bazie mówi, że jeśli dana jest ustalona baza przestrzeni oraz jakkolwiek określona na niej funkcja o wartościach skalarnych, to można ją przedłużyć w sposób jednoznaczny do funkcjonału liniowego.
  2. a b Polska terminologia tej nazwy nie jest ustalona
  3. Jeśli jest przestrzenią gładką, to odwzorowanie to jest ciągłe jako przekształcenie .
  1. Nicolas Bourbaki. Sur les espaces de Banach. „Comptes Rendus de l'Académie des Sciences”, s. 1701–1704, 1938. Paryż (fr.). 
  2. Hans Hahn. Über lineare Gleichungssysteme in linearen Räumen. „Journal für die reine und angewandte Mathematik”, s. 214-229, 1927 (niem.). 
  3. Juliusz Schauder. Über lineare, vollstetige Funktionaloperationen. „Studia Mathematica”, s. 183–196, 1930. Warszawa: Polskie Towarzystwo Matematyczne (niem.). 
  4. Leonidas Alaoglu. Weak topologies of normed linear spaces. „Annals of Mathematics”, s. 252–267, 1940. Princeton (ang.). 
  5. Joel H. Shapiro. Examples of proper, closed, weakly dense subspaces in nonlocally convex F-spaces. „Israel Journal of Mathematics”, s. 369-380, 1969. Hebrew University Magnes Press (ang.). [dostęp 14.07.09]. 
  6. Nigel J. Kalton, Joel H. Shapiro. An F-space with trivial dual and nontrivial compact endomorphisms. „Israel Journal of Mathematics”, s. 282-291, 1975. Hebrew University Magnes Press (ang.). [dostęp 14.07.09]. 
  7. Hermann Minkowski. Allgemeine Lehrsätze über die konvexe Polyeder. „Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-physikalische Klasse”, s. 198-219, 1897. Göttingen (niem.). 
  8. J. Dieudonne: Natural Homomorphisms in Banach Space. Proc. of the. Amer. Math. Soc., vol. 1. No. 1 (1950)
  9. Mark Krein, Witold Lwowicz Šmulian. On regularly convex sets in the space conjugate to a Banach space. „Annals of Mathematics”, s. 556–583, 1940. Princeton (ang.). [dostęp 12 lipca 2009]. 
  10. William Arveson: NOTES ON MEASURE AND INTEGRATION IN LOCALLY COMPACT SPACES (ang.). Department of Mathematics, University of California, Berkeley, USA, 25 marca 1996. [dostęp 11 lipca 2009].
  11. Frigyes Riesz: Sur les opérations fonctionnelles linéaires, C.R. Acad. Sci. Paris 149, 974–977
  12. Frigyes Riesz: Sur certains systémes singuliers d’équations intégrales, Ann. Sci. Ècole Norm. Sup. (3) 28, 33–62
  13. Johann Radon: Theorie und Anwendungen der Theorie der absolut additiven Mengenfunktionen, Sitzungsber. Kaiserl. (Österreich.) Akad. Wiss., Math.-Nat. Kl., Abteilung IIa, 122, 1295–1438
  14. Stefan Banach: The Lebesgue integral in abstract spaces. W: Stanisław Saks: Theory of the Integral. Wyd. 2. Warszawa: 1937, s. 320–330.
  15. Andriej Markow: On mean values and exterior densities, Mat. Sbornik 4, 165–190
  16. A.D. Alexandroff: Additive set-functions in abstract spaces, Mat. Sbornik 8, 307–348; 9, 563–628; 13, 169–238
  17. Shizuo Kakutani: Concrete representation of abstract (L)-spaces and the mean ergodic theorem, Ann. of Math. 42, 523–537
  18. Frigyes Riesz: Untersuchungen über Systeme integrierbarer Funktionen, Math. Ann. 69, 449–497.
  19. Hugo Steinhaus: Additive und stetige Funktionaloperationen, Math. Z. 5, 186–221
  20. Herman Goldstine: Weakly complete Banach spaces, Duke Math. J. 4 (1938), 125–131
  21. Ivan Singer, Some characterizations of reflexivity. Proc. Amer. Math. Soc. 52(1975), 166-168

Bibliografia

  1. Robert R. Adams: Sobolev Spaces. Acadamiec Press, 1975. ISBN 0-12-044150-0.
  2. Fernando Albiac, Nigel J. Kalton: Topics in Banach Space Theory. Springer-Verlag GmbH, 2006. ISBN 978-0-387-28141-4.
  3. Joseph Diestel, Jerry Uhl: Vector Measures. Providence, Rhode Island: World Scientific Pub Co Inc., 2002. ISBN 978-0821815151.
  4. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer, 1998. ISBN 978-0-387-98431-5.
  5. Julian Musielak. Jak powstawała analiza funkcjonalna. „Wiadomości Matematyczne”, 2007. Polskie Towarzystwo Matematyczne. Warszawa. ISSN 0373-8302 (pol.). [dostęp 11 lipca 2009]. 
  6. Julian Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej. Warszawa: PWN, 1989.
  7. Albrecht Pietsch: History of Banach Spaces and Linear Operators. Birkhäuser, 2007. ISBN 978-0-8176-4367-6.
  8. Walter Rudin: Analiza funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2009. ISBN 978-83-01-15802-6.
  9. Laurent Schwartz: Théorie des distributions. Hermann, 1950.