Własność Banacha-Saksa

Własność Banacha-Saksa - o danej przestrzeni unormowanej mówi się, że ma własność Banacha-Saksa jeżeli każdy ograniczony ciąg jej punktów ma podciąg zbieżny według średniej (sumowalny w sensie Cesàro), tzn. jeżeli dla każdego ograniczonego ciągu jej punktów istnieje podciąg o tej własności, że ciąg

jest zbieżny (w sensie normy). Ciągi mające powyższą własność nazywane są ciągami Banacha-Saksa. Nazwa pojęcia pochodzi o nazwisk polskich matematków, Stefana Banacha i Stanisława Saksa, którzy rozszerzyli twierdzenie Mazura mówiące, że słaba granica ciągu punktów przestrzeni Banacha jest granicą w sensie normy kombinacji wypukłych wyrazów tego ciągu, o możliwość znalezienia w przestrzeni , 1 < p <∞ takich kombinacji wypukłych, które są dodatkowo sumowalne w sensie Cesàro[1]. Wynik ten został jeszcze dalej rozszerzany przez Shizuo Kakutaniego na przestrzenie jednostajnie wypukłe[2]. Wiesław Szlenk wprowadził pojęcie słabej własności Banacha-Saksa zastępując pojęcie ciągu ograniczonego w definicji własności Banacha-Saksa ciągiem słabo zbieżnym do zera oraz udowodnił, że przestrzeń ma tę własność[3]. Definicja (słabej) własności Banacha-Saksa przenosi się mutatis mutandis na podzbiory przestrzeni unormowanych.

Własności i przykłady

  • Każda przestrzeń mająca własność Banacha-Saksa jest refleksywna[4]. Istnieją jednak przestrzenie refleksywne, które nie mają tej własności - pierwszy przykład takiej przestrzeni został podany przez Alberta Baernsteina[5].
  • Julian Schreier podał, jako pierwszy, przykład przestrzeni (tzw. przestrzeń Schreiera), która nie ma słabej własności Banacha-Saksa[6]. Udowodnił także, że przestrzeń funkcji ciągłych na liczbie porządkowej również nie ma tej własności.
  • Pociąg słabego ciągu Banacha-Saksa nie musi być słabym ciągiem Banacha-Saksa.
  • -sumy przestrzeni o własności Banacha-Saksa nadal mają tę własność[7].
  • Istnieje przestrzeń o własności Banacha-Saksa dla której przestrzeń nie ma tej własności[8].
  • Każdy ograniczony ciąg punktów przestrzeni Banacha zawiera podciąg o tej własności, że każdy podciąg tego ciągu jest ciągiem Banacha-Saksa bądź żaden nie jest ciągiem Banacha-Saksa.
  • Obraz ściśle addytywnej miary wektorowej ma własność Banacha-Saksa[9].

Operatory Banacha-Saksa

Operator ograniczony między przestrzeniami Banacha nazywany jest (słabym) operatorem Banacha-Saksa, jeżeli jego obraz ma (słabą) własność Banacha-Saksa. Klasa operatorów Banacha-Saksa tworzy niesymetryczny, domknięty ideał operatorowy. W szczególności rodzina operatorów Banacha-Saksa na przestrzeni Banacha tworzy domknięty ideał algebry operatorów ograniczonych na (analogicznie, rodzina , słabych operatorów Banacha-Saksa na również tworzy domknięty ideał.

Ideał słabych operatorów Banacha-Saksa na C(ωω+1)

Ideał jest ideałem maksymalnym w algebrze . Jeżeli

,

to istnieje taka podprzestrzeń przestrzeni , która jest z nią izomorficzna oraz zawężony do jest izomorfizmem[10]. Operator ograniczony, określony na przestrzeni ( - zwarta przestrzeń Hausdorffa) i o wartościach w dowolnej przestrzeni Banacha jest słabym operatorem Banacha-Saksa wtedy i tylko wtedy jego obraz nie zawiera podprzestrzeni izomorficznej z przestrzenią [11]. Fakt ten pociąga za sobą, że jeżeli , to istnieje podprzestrzeń obrazu komplementarna w i izomorficzna z . Niech ,

będzie rzutowaniem na ,

będzie izomorfizmem oraz

będzie operatorem inkluzji. Następujący diagram jest przemienny:

Plik:Weak-Banach-Saks.png

a zatem operator faktoryzuje się poprzez identyczność przestrzeni (tzn. operator tożsamościowy należy do ideału generowanego przez ), co implikuje, że ideał jest jedynym ideałem maksymalnym w .

  1. S. Banach, S. Saks, Sur la convergence forte dans les champs Studia Mathematica, 2 (1930) ss. 51–57.
  2. S. Kakutani, Weak convergence in uniformly convex spaces Math. Inst. Osaka Imp. Univ. (1938) ss. 165–167.
  3. W. Schlenk, Sur les suites faiblement convergents dans l'espace Studia Mathematica, 25 (1969) ss. 337–341.
  4. T. Nishiura, D. Waterman, Reflexivity and summability Studia Mathematica, 23 (1963) ss. 53–57
  5. A. Baernstein II, On reflexivity and summability Studia Mathematica, 42 (1972) ss. 91–94.
  6. J. Schreier, Ein Gegenbeispiel zur Theorie der swachen Konvergenz Studia Mathematica, 2 (1930) ss. 58–62.
  7. J.R. Partington, On the Banach–Saks property Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 82 (1977) ss. 369–374.
  8. S. Guerre, La propriété de Banach–Saks ne pase pas de à , d'áprés J. Bourgin Sem. Anal. Fonctionnelle Ecole Polytechn. Palaiseau (1979–1980) s. 8
  9. J. Diestel, C.J. Seifert, An averaging property of the range of a vector measure, Bulletin of the American Mathematical Society, 82 (1976), ss. 907-909.
  10. J. Bourgain, The Szlenk index and operators on C(K)-spaces. Bull. Soc. Math. Belg. Sér. B 31, 1 (1979), ss. 87–117.
  11. A. Pełczyński, A. On C(S)-subspaces of separable Banach spaces. Studia Mathematica 31 (1968), ss. 513–522.

Bibliografia

Szablon:Bibliografia start

  • Albert Pietsch: History of Banach Spaces and Linear Operators. Wyd. pierwsze. Boston: Birkhäuser, 2007, s. 523-535. ISBN 0-8176-4367-2.

Szablon:Bibliografia stop