Grandi serisi

Şablon:Çeviri

1 − 1 + 1 − 1 + … sonsuz dizisi ya da

Grandi dizisi olarak adlandırılır. Dizi; İtalyan matematikçi, filozof ve papaz Guido Grandi'ye 1703 yılında yaptığı özgün çalışmalardan ötürü adanmıştır. Genel anlamda bir toplamı olmayan ıraksak bir dizi olarak tanımlanan ifadenin Cesàro toplamı ½'dir.

Deneysel yöntem

1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + … toplamını hesaplamanın en basit yolu onu bir iç içe dizi olarak algılamak ve çıkarma işlemlerini doğrudan gerçekleştirmektir.

(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0.

Öte yandan, terimler farklı bir yolla öbeklendiklerinde toplam, yukarıda elde edilen sonuçla çelişmektedir.

1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1

Grandi dizisini ayraçlar yardımıyla öbeklere ayırma yoluyla ulaşılabilen "değerler" 0 ve 1'dir. Eilenberg–Mazur hilesi olarak adlandırılan benzer bir yöntem düğüm kuramı ve cebirinde zaman zaman kullanılmaktadır.

Grandi dizisi bir ıraksak geometrik dizi olarak ele alındığında ise yakınsak geometrik dizilere uygulanan yöntemler bu diziye uyarlanarak farklı bir değer bulunabilmektedir.

S = 1 − 1 + 1 − 1 + … ve
1 − S = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + …) = 1 - 1 + 1 - 1 + … = S
S = 12

Aynı sonuç, −S hesaplanıp sonuç S'den çıkarıldıktan sonra 2S = 1 çözümüyle de ulaşılabilmektedir.[1]

Dizi üzerinde yapılan bu oynamalar bir dizinin toplamının tam olarak ne ifade ettiği konusuna odaklanmamaktadır. Dizileri isteğe göre öbeklere ayırmak ve bunlar üzerinde dört işlem uygulaması yapmak her ne kadar önemliyse de şu iki sonuca ulaşmak olasıdır:

  • 1 − 1 + 1 − 1 + … dizisinin bir toplamı yoktur.[2][1]
  • ...ancak toplam 12 olmalıdır.[2]

Her iki ifade doğrulanabilir ve kanıtlanabilir ancak bunu gerçekleştirmek için 19. yüzyılda bulunan matematiksel kavramlara gerek duyulmaktadır. Kalkülüsün Avrupa'ya gelişinden 18. yüzyılın sonuna dek geçen süre matematikçiler arasında bu konuda yaşanan "bitmeyen" ve "sert" tartışmalara tanıklık etmiştir.[3][4]

Geçmişi

Iraksaklığı

In modern mathematics, the sum of an infinite series is defined to be the limit of the sequence of its partial sums, if it exists. The sequence of partial sums of Grandi's series is 1, 0, 1, 0, …, which clearly does not approach any number (although it does have two accumulation points at 0 and 1). Therefore, Grandi's series is divergent.

It can be shown that it is not valid to perform many seemingly innocuous operations on a series, such as reordering individual terms, unless the series is absolutely convergent. Otherwise these operations can alter the result of summation. It's easy to see how terms of Grandi's series can be rearranged to arrive at any integer number, not only 0 or 1.

  • E. T. Whittaker and G. N. Watson, A course of modern analysis, 4th edition, reprinted (Cambridge University Press, 1962), section 2.1.

Eğitimdeki yeri

Toplanabilirliği

Ayrıca bakınız

Notlar

  1. ^ a b Devlin s. 77
  2. ^ a b Davis s. 152
  3. ^ Kline 1983 s. 307
  4. ^ Knopp s. 457

Kaynakça