Поліноми Ерміта

Шаблон:Кандидат в добрі статті

Ортогональні поліноми
Ерміта
Відкриті Шарлем Ермітом в 1864 році
Формула
Диференціальне рівняння
Визначені на
Вага
Норма
Примітки В фізиці часто використовуються поліноми Ерміта, визначені як


Поліноми Ерміта (англ. Hermite polynomials) — ортогональні поліноми що використовуються в теорії ймовірності, теплопровідності, чисельному аналізі та квантовій механіці (як власні функції квантового гармонічного осцилятора). Названі на честь французького математика Шарля Ерміта, який ввів[1] їх в 1864 році.

Визначення

Графіки поліномів Ерміта порядку

Поліномами Ерміта називається послідовність поліномів ,, що задовільняють співвідношенню:
,
з якого випливає
.
Таке визначення здебільшого використовується в теорії ймовірностей. В фізиці (здебільшого в квантовій механіці) використовують наступне визначення:
.
Зв'язок між «фізичними» та «ймовірностними» поліномами Ерміта здійснюється через наступне рівняння:

.
В цій статті будуть використовуватися «ймовірностні» поліноми (якщо не зазначено інше).

Явні вирази перших одинадцяти поліномів Ерміта мають наступний вигляд:

Загальний вираз для поліномів Ерміта має вигляд

Властивості

Поліном містить члени лише тієї ж парності, що й саме число :

.

При мають місце наступні співвідношення:

.

Рівняння має дійсних коренів, що є попарно симетричними відносно початку системи координат і модуль жодного з них не перевищує величини . Корені полінома чергуються з коренями полінома .

Поліном можна представити у вигляді визначника матриці :

Формула додавання

Має місце наступна формула додавання поліномів Ерміта:

Частковими випадками такої формули є наступні:

  • , . Тоді
.
  • , , . Тоді
.

Диференціювання та рекурентні співвідношення

Похідна -ого порядку від полінома Ерміта , також є поліномом Ерміта:

звідки випливає співвідошення для першої похідної

та рекурентне співвідношення між трьома послідовними поліномами:

Ортогональність

Поліноми Ерміта утворюють повну ортогональну систему на інтервалі з вагою :

,

де  — дельта-символ Кронекера.

Важливим наслідком ортогональності поліномів Ерміта є можливість розкладу різних функцій в ряди по поліномах Ерміта. Для будь-якого невід'ємного цілого справедливий запис

З нього випливає зв'язок між коефіцієнтами розкладу функції в ряд Маклорена та коефіцієнтами розкладу цієї ж функції по поліномах Ерміта, , що носять назву співвідношень Нільса Нільсона:

Наприклад, розклад функції Куммера матиме наступний вигляд:

де  — узагальнена гіпергеометрична функція другого порядку,  — гамма-функція.

Розклад функцій, що містять експоненту.

Для будь-якої функції, що записується як суперпозиція експонент можна записати наступний розклад по поліномах Ерміта:

Зокрема розклади відомих гіперболічних та тригонометричних функцій мають вигляд

Диференціальні рівняння

Поліноми Ерміта є розв'язками лінійного диференціального рівняння:

Якщо є цілим числом, то загальний розв'язок вищенаведеного рівняння записується як

,

де  — довільні сталі, а функції називаються функціями Ерміта другого роду. Ці функції не зводяться до поліномів і їх можна виразити лише за допомогою трансцендентних функцій та .

Представлення

Поліноми Ерміта допускають наступні представлення:

де  — контур, що охоплює початок координат.

Інше представлення має вигляд:

.

Зв'язок з іншими спеціальними функціями

  • Зв'язок з функцією Куммера:
  • Зв'язок з поліномами Лаґера:

Застосування

.
Розв'язками цього рівняння є власні функції осцилятора, що відповідають власним значенням . Нормовані на одиницю вони записуються як
.
Зазначимо, що в даному виразі використовуються саме «фізичні» поліноми Ерміта .
  • Поліноми Ерміта використовуються в розв'язку одновимірного рівняння теплопровідності на нескінченному інтервалі. Це рівняння має розв'язок у вигляді експоненційної фунції . Оскільки таку функцію можна представити у вигляді розкладу по поліномах Ерміта, а з іншого боку вона може бути розкладена в ряд Тейлора по :
,
то функції , що є розв'язками рівняння теплопровідності і задовільняють початковій умові , виражаються через поліноми Ерміта наступним чином:
.
Для отримання останньої рівності було використано інтеграл Пуасона-Фур'є.

Посилання

  1. Hermite C. Sur un nouveau développement en série de fonctions. // Compt. Rend. Acad. Sci. Paris. — 1864. — Т. 58. — С. 93-100; 266-273., передруковано також в C. Hermite (1908). Oeuvres complètes (французька). tome 2. Paris. с. 293–308.  Текст «пубмісяць » проігноровано (довідка)

Література

  • Abramowitz, Milton & Stegun, Irene A., eds. (1965), «Chapter 22», Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 0-486-61272-4.
  • Wiener, Norbert (1958). The Fourier Integral and Certain of its Applications. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-60272-9. 
  • Whittaker, E. T.; Watson, G. N. (1962). A Course of Modern Analysis. London: Cambridge University Press.  Проігноровано невідомий параметр |Ed= (довідка)
  • Ж. Кампе де Ферье; Р. Кемпбелл, Г. Петьо, Т. Фогель (1963). Функции математической физики (російська). Москва: Физматгиз. с. 62–70.  Текст «пубмісяць

» проігноровано (довідка); Проігноровано невідомий параметр |глава= (можливо, |розділ=?) (довідка)

Зовнішні посилання