Рівняння четвертого степеня

Графік функції

У математиці рівняння четвертого степеня є результатом прирівнювання полінома четвертого степеня до нуля. Воно має такий загальний вигляд

,

де .

Рівняння четвертого степеня є рівняннями з найвищим степенем, що допускають представлення загального розв'язку у радикалах.

Історія

Лодовіко Феррарі

Рівняння четвертого степеня були вперше розглянуті індійськими математиками в Індії між 400 до н. е. і 200 н. е.

Лодовіко Феррарі є першим, хто здійснив відкриття розв'язку рівнянь четвертого степеня (1540), проте його робота мала один недолік: він спирався на розв'язок кубічного рівняння, яким він не володів, тому цей розв'язок не було опубліковано.[1] Опублікували його розв'язок разом з розв'язком кубічного рівняння його наставника Кардано у книзі «Ars Magna» (1545).

Недоведеність того факту, що рівняння вищих степенів (п'ятого і вище) не може мати (взагалі кажучи) коренів, представлених в радикалах, підбурювала вчених тих часів шукати ці розв'язки. Але у 1824 році була опублікована теорема Абеля-Руффіні, яка відкидала можливість виражати корені рівнянь вищих степенів через радикали.[1]

Застосування

Поліноми вищих степенів часто розглядаються у проблемах математичних методів оптимізації, де, зокрема, доводиться розглядати поліноми четвертого степеня, хоча і не дуже часто.

Рівняння четвертого степеня часто виникають у комп'ютерній графіці і при обчисленні рей-трейсингу (обтікання променів) проти торичних поверхонь, а також поверхонь четвертого порядку, що на наступному рівні після сфери і лінійчастих поверхонь.[2]

Іншою типовою задачею, у процесі розв'язання якої виникає рівняння четвертого степеня, є відшукання перетину двох еліпсів, заданих неканонічно.

Також досить часто виникає потреба розв'язувати рівняння четвертого степеня у задачах, які полягають у відшуканні умов стійкості динамічних систем. Це пов'язано з тим, що потрібно шукати власні значення матриць монодромії вищезгаданих систем, що у випадку матриць 4 на 4 рівносильне розв'язанню деякого рівняння четвертого степеня.

Програмна версія стійкого розв'язку рівняння четвертого степеня наведена у Graphics Gems.[3]

Розв'язування рівняння четвертого степеня

Частинні випадки

З нульовим вільним членом

Якщо a4 = 0, то один з коренів x = 0, а інші можна знайти, поділивши все рівняння на x, після чого отримавши кубічне рівняння,

Очевидні корені: 1 і −1

Рівняння має корінь −1, якщо

У цьому випадку, можна поділити на , після чого продовжити шукати корені, опираючись на властивості коефіцієнтів.

Рівняння має корінь 1, якщо

У цьому випадку, можна поділити на , після чого продовжити шукати корені, опираючись на властивості коефіцієнтів.

Біквадратні рівняння

Графік функції . Поліном четвертого степеня, що стоїть у правій частині, є біквадратичним і має симетричні корені: 1 і −1, 2 і −2.

Рівняння четвертого степеня, у якому a3 і a1 дорівнюють нулю, набуває вигляду:

Воно називається біквадртаним рівнянням і є простим для розв'язання. Замінимо , після чого наше рівняння перетвориться у відповідне йому квадратне рівняння

яке має корені:

Оскільки нам треба знайти x, то повернемось до заміни (використавши два значення для змінної z), врахувавши, чому дорівнює z

Якщо серед знайдених чисел z є від'ємні або комплексні числа, то деякі з остаточних коренів рівняння будуть комплексні.

Квазісиметричні рівняння

Загальний вигляд рівняння:

, де . Розв'язок цього рівняння можна здійснити таким методом:

Поділимо обидві частини рівняння на , отримаємо

після цього виконаємо заміну:

Маємо


Отже:

Розв'язком цього рівняння є 2 дійсні корені

і

Повернемось до заміни, тоді корені початкового рівняння можна дістати, розв'язавши такі рівняння:

і

У випадку, коли відмінне від 1 у

цей метод безпосередньо застосовувати не можна. Проте, виконавши перший крок, що полягає у діленні рівняння на ми отримаємо рівняння, приведене у потрібний вигляд.

Квазісиметричні рівняння четвертого степеня задовольняють такі умови (вони випливають з фомули Вієта): нехай , , і , — корені рівняння, тоді:

  • ;
  • ;
  • .

Загальний випадок, метод Феррарі

Для початку, рівняння четвертого степеня потрібно перетворити у канонічне рівняння четвертого степеня.

Канонізація рівняння четвертого степеня

Нехай

рівняння четвертого степеня, яке треба розв'язати. Поділимо обидві частини на A,

Наступним кроком обнулимо коефіцієнт при x3. Для того, щоб це зробити, замінимо x на u, тобто

.

Отимаємо

Розкриємо дужки, піднісши до відповідних степенів

Зведемо подібні доданки

Перепозначимо коефіцієнти при u. Нехай

Отже, ми отримали рівняння

яке називається канонічним рівнянням четвертого степеня.

Якщо , то ми отримаємо біквадратне рівняння, яке легко розв'язується.

Розв'язок Феррарі

Розглянемо суть методу Феррарі для розв'язання канонічного рівняння четвертого степеня. Для цього спочатку запишемо очевидну тотожність

і додамо її до рівняння (1), отримаємо

Це було зроблено для того, щоб замість u4 отримався повний квадрат: (u2 + α)2. Другий доданок, αu2 не зник, проте його знак замінився на протилежний і він перемістився на інший бік рівняння.

Наступним кроком є введення нової змінної y у повний квадрат рівняння (2), і перенесення 2y разом з коефіцієнтом u2 до правої частини. Отримаємо тотожну рівність, яку ми потім додамо до рівняння (2)

також розглянемо очевидну рівність

Додамо дві останні рівності, отримаємо

Додавши цю рівність до (2), отримаємо

Ця рівність еквівалентна

Виберемо змінну y так, щоб у правій частині рівності (3) утворився повний квадрат. Це буде зроблено, якщо дискримінант квадратичної функції правої частини дорівнюватиме 0. Для пояснення цього явища, розглянемо повний квадрат як деяку квадратичну функцію:

Квадратична функція з правого боку нерівності має три коефіцієнти. Можна переконатися, що квадрат другого з них мінус почетверений добуток першого на третього дасть нуль:

Тому, для того, щоб перетворити праву частину рівняння (3) на повний квадрат, потрібно розв'язати таке рівняння відносно параметра y:

Виконаємо множення і зведемо подібні доданки при y,

Поділимо обидві частини на −4, і перенесемо −β2/4 у праву частину,

Маємо кубічне рівняння відносно y. Поділимо обидві частини на 2,

Перетворення похідного кубічного рівняння до канонічного вигляду

Рівняння (4) є похідним кубічним рівнянням від рівняння четвертого степеня. Щоб його розв'язати, потрібно привести його до канонічного вигляду. Зробимо заміну

Рівняння (4) набуває вигляду

Розкриємо дужки:

Зведемо подібні доданки при степенях v, врахувавши, що коефіцієнт при v2 дорівнює нулю і цей доданок знищується,

Ми отримали канонічне кубічне рівняння.

Перепозначимо його коефіцієнти,

Отримаємо рівняння:

Розв'язування похідного кубічного рівняння

Розглянемо питання про розв'язання (нас задовольнить будь-який розв'язок) рівняння (5).

Позначимо:
(взято з кубічне рівняння),

отримається такий розв'язок кубічного рівняння (4) є:

Можна показати, що мають місце співвідношення

1:
2:
Видобування кореня з обох частин і завершення розв'язування

Розглянемо схему згортання повного квадрату:

Вона є вірною для обох знаків коренів квадратних, якщо їх брати однаковими. Ми не будемо писати знак ± самого по собі, оскільки це може викликати певні труднощі, зважаючи на те, що далі він буде вживатися разом з іншими знаками ±, які виникнуть потім. Натомість, поряд з цим знаком ми будемо ставити індекс, що являтиме собою змінну, знак якої береться до уваги.

Зважаючи на це, ми отримаємо:

.
Зауваження: Якщо β ≠ 0 тоді α + 2y ≠ 0. А якщо β = 0 то ми отримаємо біквадратне рівняння, що було розглянуте вище.

Зважаючи на це (3) перетворюється на:

.

Рівність (7) містить лише повні квадрати: один у лівій частині і один — у правій.

Якшо квадрати двох виразів рівні, то і самі вирази рівні або відрізняються лише знаком, тобто:

.

Зведемо подібні доданки при u:

.
Зауваження: Знаки s, що фігурують у фомулі як і є величинами залежними.

Рівняння (8) є квадратним рівнянням відносно u. Його розв'язок має вигляд

Або, після спрощення

Це був розв'язок канонічного квадратного рівняння, враховуючи це, розв'язок початкового рівняння можна представити у вигляді

Важливо: Два знаки отримались з рівняння (7') є залежними, тому являють собою один і той самий знак, а знак  — незалежний.
Підсумки методу Феррарі

Нехай дано рівняння четвертого степеня

його розв'язок можна знайти після проведення обчислень:

Якщо то доречно розв'язувати і підстановкою знаходити корені
.
, (підходять обидва знаки квадратного кореня)
, (в цього рівняння існують три комплексні корені, будь-який з них нас задовольнить)
Два символи ±s повинні мати один і той самий знак, а символ ±t — незалежний. Щоб знайти всі корені, треба знайти значення x для всіх комбінацій символів ±st: спочатку тореба розв'язати для випадку +,+ , потім для +,− , далі — для −,+ і наостанок — для −,−. Корінь подвійної кратності ми отримаємо двічі, потрійної — тричі, а корінь кратності чотири — чотири рази (щоправда, у цьому випадку у нас був би випадок, коли β = 0, який не є загальним, а призводить до біквадратного рівняння). Порядок коренів визначається тим, яке U було обрано.

Інші методи

Швидке розв'язання (природнє)

Попереднє розв'язання рівняння четвертого степеня харктеризується досить специфічною і неочевидною заміною, що робить його важким для запам'ятовування.

Розглянемо інше розв'язання, яке є більш природним. Ідея полягає у тому, що потрібно розкласти даний поліном четвертого степеня у добуток квадратичних поліномів. Нехай

Прирівняємо коефіцієнти при однакових степенях x:

Цю систему важче розв'язати, ніж здається, проте якщо почати з канонічного рівняння четвертого степеня, де , ми отримаємо , і:

Тепер можна легко виключити і :

Якщо ми позначимо , то це рівняння перетвориться у кубічне рівняння:

Нехай ми отримали , тоді:

Підставивши отримані параметри p, q, r, s у квадратичні поліноми і розв'язавши їх, ми отримаємо розв'язок вихідного рівняння четвертого степеня. Якщо початкове рівняння було неканонічним, то треба повернутись до заміни.

Чисельний (неаналітичний) розв'язок

Досить ефективним у розв'язуванні рівнянь четвертого степеня є метод парабол, що шукає не лише дійсні (на відміну від методу бісекцій), але й комплексні значення коренів, до того ж цей метод без особливих труднощів розв'язує також рівняння з комплексними коефіцієнтами. Розглянемо цей метод.

Нехай заданий поліном , корені якого треба знайти.

Знайдемо один з цих коренів. Візьмемо три довільні (початкові) точки з комплексної площини, єдина вимога: вони мають бути всі різними, а також різним має бути значення полінома у цих точках (часто їх беруть рівними відповідно −1, 0, 1). Розглянемо такі 3 точки: . Оскільки через будь-які 3 точки з різними абсцисами можна провести параболу (яка, щоправда, може вироджуватися у пряму), то проведемо цю параболу. Нехай її рівняння має вигляд . Прирівнявши це рівняння до нуля, ми отримаємо корені (які, взагалі кажучи, є комплексними числами, а тому завжди існують). Візьмемо за те з чисел , яке найменше відрізняється (за модулем) від . Надалі розглядатимемо трійку чисел . І так далі. Варто сказати, що послідовність досить швидко збігається до одного з коренів: точність відшукання кореня у 10 значущих цифр може бути досягнута за 20 кроків.

Після того, як ми знайшли один з коренів (позначимо його через ), слід поділити весь поліном на двочлен . Після цього ми отримаємо кубічний поліном, для якого також можна знайти один з коренів методом парабол. Після відповідного ділення ми отримаємо квадратичний поліном, після розв'язання якого ми отримаємо решту коренів початкового рівняння.

В силу універсальності даного методу, його можна застосовувати не тільки у розв'язанні рівнянь четвертого степеня, а й у розв'язанні рівнянь вищих степенів.

Див. також

Посилання

  1. Stewart, Ian, Galois Theory, Third Edition (Chapman & Hall/CRC Mathematics, 2004)