Слабка локалізація

Слабка́ локаліза́ція (англ. weak localization) — сукупність явищ, зумовлених ефектом квантово-механічної інтерференції електронів самих з собою в матеріалах з металічним типом провідності[1]. Походження терміна «слабка локалізація» пояснюється тим, що інтерференційні явища можна інтерпретувати як передвісник андерсонівського переходу метал-діелектрик, за якого через достатньо сильне розупорядкування структури відбувається повна локалізація електронів[2]

Теорія слабкої локалізації

Природа слабкої локалізації

Можливі траєкторії електронів у невпорядкованих системах

Слабка локалізація відбувається через інтерференцію електрона самого з собою завдяки можливості його руху в одну і ту ж точку різними траєкторіями.

До виявлення ефектів слабкої локалізації вважалося, що квантово-механічні явища інтерференції існують в основному за руху електронів у монокристалах. У першу чергу, це дифракція електронів[3]. Однак з'ясувалося, що ці явища не тільки існують в невпорядкованих системах, але й можуть посилюватися в таких системах[1][4]

На відміну від кристалів, де потенціал поля, в якому рухаються електрони, змінюється періодично, в невпорядкованих середовищах він змінюється випадковим чином. Електрони, енергія яких менша від максимальних значень потенціалу, локалізуються в потенціальних ямах, утворених випадковим полем. Якщо довжина локалізації невелика в порівнянні з відстанями між центрами локалізації, електрон у потенціальній ямі перебуває доти, поки теплові коливання атомів не перекинуть його в сусідню потенціальну яму. Таке перенесення електронів називається стрибковим транспортуванням[5]. Прикладом матеріалів, у яких здійснюється стрибкове транспортування, є аморфні напівпровідники[6].

Електрони з вищими енергіями не локалізуються у випадкових потенціальних ямах, але розсіюються на них. Нехай середовище складається із хаотично розташованих силових центрів, на кожному з яких електрон розсіюється ізотропно, тобто, може з однаковою ймовірністю відхилитися на будь-який кут. Якби електрон був класичною частинкою, то ймовірність виявити електрон, розсіяний на хаотично розташованих силових центрах, не залежала б від кута розсіяння. Однак урахування корпускулярно-хвильового дуалізму змінює картину[1].

Припустимо, що за час ( — час збою фази) електрон, розсіюючись на силових центрах, наприклад, домішках, переходить із початкової точки 0 в точку з координатою . Він може потрапити в цю точку різними шляхами. Згідно із загальними принципами квантової механіки ймовірність цього процесу

, .

У цій формулі  — амплітуда ймовірності руху електрона по -тій траєкторії.

Перша сума у виразі для є сумою ймовірностей проходження електроном кожної траєкторії, друга описує інтерференцію амплітуд. Інтерференція більшості амплітуд не дає внеску в , оскільки їхні фази пропорційні довжинам траєкторій і через різницю цих довжин взаємно гасяться. Винятком є лише замкнені траєкторії.

Слабка локалізація виникає завдяки можливості руху електронів по замкнених траєкторіях розсіяння у взаємно протилежних напрямках

Розглянемо замкнені траєкторії, тобто траєкторії, якими електрон повертається у початкову точку. Розіб'ємо такі траєкторії на пари з однаковим набором розсіювальних центрів, але з протилежними напрямками руху. Ймовірність, що електрон, розсіявшись на наборі силових центрів, повернеться в початкову точку

де ,  — амплітуди ймовірностей руху електронів замкненою траєкторією в протилежних напрямах обходу контуру.

Оскільки фази цих електронних хвиль за зустрічі в точці 0 будуть однаковими, то з урахуванням, що , одержимо замість , що було б без урахування інтерференції.

Збільшення ймовірності для електрона через час бути виявленим в точці 0 (по суті, залишитись там, звідки почалася дифузія) і називається слабкою локалізацією.

Механічна аналогія

Розгалуження в кільцеподібному каналі хвилі з водойми, яка з ним з'єднана

Фізичну суть процесів, які лежать в основі слабкої локалізації, можна пояснити з допомогою механічної аналогії[7]. Нехай кільцеподібний водний канал в одному місці з'єднаний з великою водоймою. Хвиля, яка приходить з водойми, розгалужуючись, попадає в обидва рукави каналу. Після розгалуження хвилі в обох рукавах є когерентними. Якщо затухання хвиль в каналі немає, то обидві локальні хвилі, рухаючись в протилежних напрямках по каналу, обійдуть його і зустрінуться на вході, інтерферуючи одна з одною.

Квантові поправки до провідності

Збільшення ймовірності повернення електронів під час дифузії в точку, з якої вона почалася, не означає, що дифузія неможлива. Слабка локалізація призводить до зниження рухливості частинок, а отже до підвищення електричного опору[8].

Значення квантової поправки до провідності , зумовлене ефектом слабкої локалізації, суттєво залежить від розмірності системи.

Об'єм, у будь-якій точці якого може знаходитись електрон в момент часу , становить , де  — коефіцієнт дифузії. Об'єм, з якого електрон за час може потрапити в початкову точку, складає ( — де-бройлівська довжина хвилі,  — швидкість Фермі). Відношення цих об'ємів визначає відносну кількість електронів, які побували в початковій точці за час . Мінімальний час, через який електрон може повернутися в початкову точку, — час пружного розсіяння . Максимальний час, через який він зможе брати участь в інтерференції, — час збою фази . Таким чином,

.

Для (тривимірний випадок):

,

де  — радіус сфери Фермі;  — середня довжина вільного пробігу електрона.

Величина називається дифузійною довжиною втрати фази.

є характерним розміром, у порівнянні з яким визначається розмірність системи. Плівка товщини та металічна нитка діаметра за умови є прикладами систем зниженої розмірності (дво- та одновимірний випадок відповідно).

Для :

.

Для :

.

Аналіз поправок свідчить, що ефект інтерференції тим сильніший, чим нижча розмірність системи.

є функцією температури, тому саме через цей параметр квантові поправки до провідності залежать від температури. Оскільки при [9], то в тривимірному випадку провідність зі зниженням температури прямує до деякого постійного значення. Для систем зниженої розмірності за наближення температури до абсолютного нуля квантові поправки, залишаючись від’ємними, необмежено зростають. Через те, що провідність не може бути від’ємною, повинна бути умова застосовності наведених формул квантових поправок до провідності. Такою умовою є відносна малість поправок.

Якщо квантові поправки до провідності представити в абсолютній формі,то вони матимуть вигляд[7]:

: ,

: ,

: .
Всі вони мають однаковий масштаб . Ця комбінація атомних констант розмірності, оберненої до розмірності опору, зустрічається в усіх задачах, пов'язаних зі слабкою локалізацією.

Від'ємний магнетоопір

Магнітне поле «закручує» траєкторію електрона, тому з точки зору класичної фізики електричний опір у магнітному полі має зростати, тобто має спостерігатися додатній магнетоопір. Однак для матеріалів, для яких проявляються ефекти слабкої локалізації, спостерігається від'ємний магнетоопір. Ефект від'ємного магнетоопору зумовлений руйнуванням магнітним полем слабкої локалізації.

При проходженні електроном замкненого контуру за наявності магнітного поля в його хвильової функції з'являється додатковий фазовий множник[8]:

,

де  — квант магнітного потоку;

 — магнітний потік через замкнений контур електронної траєкторії площею .

Знак чи в показнику експоненти залежить від того, проходить цей контур електрон за чи проти годинникової стрілки. Оскільки електрон може рухатися замкненою траєкторією в протилежних напрямках, за повернення його в початкову точку виникне зсув фаз .

Наявність різниці фаз означає що ймовірність набуде вигляду:

.

За усереднення по різних замкнених траєкторіях середнє значення дорівнюватиме нулю, так що інтерференційний внесок зникає. Отже, в магнітному полі електричний опір знижується[10].

Осциляції електроопору в магнітному полі

Інтерференційна картинка в магнітному полі руйнується завдяки розкиду площ різних замкнених траєкторій. Якщо всі замкнені траєкторії матимуть одну і ту ж площу проєкції на площину, перпендикулярну вектору напруженості магнітного поля, то інтерференційний внесок не руйнуватиметься, а буде осцилювати з ростом напруженості магнітного поля з періодом .

Таку конфігурацію можна реалізувати, якщо, наприклад, на кварцову нитку діаметром 1 ÷ 2 мкм напилити шар металу значно меншої товщини, отримавши своєрідний тонкостінний циліндр. Усі замкнені дифузійні траєкторії матимуть площу проєкції на площину, перпендикулярну осі циліндра, або 0, або . Магнітне поле, направлене вдовж осі такого циліндра, на інтерференцію траєкторій з нульовою площею проєкцій впливу не чинить. Водночас внесок замкнених траєкторій з площею проєкцій відмінною від нуля в провідність вздовж осі циліндра осцилюватиме з ростом магнітного поля[11].

Подібні осциляції можна спостерігати не тільки для зразків спеціальної форми; вони можуть виникнути для зразків довільної форми, але достатньо малого розміру. Кількість замкнених траєкторій у таких зразках обмежена, тому за усереднення інтерференційний внесок у провідність не зникає. За зміни магнітного поля в таких зразках виникають так звані універсальні осциляції провідності (кондактансу)[12]

Слабка локалізація електромагнітних хвиль

Оскільки слабка локалізація має хвильову природу, подібне явище повинно спостерігатися не лише для електронних хвиль, але і хвиль іншої природи. Відповідний аналог слабкої локалізації був виявлений для електромагнітних хвиль: під час експериментального вивчення кутової залежності інтенсивності розсіяння світла в суспензіях спостерігався пік розсіяння світла, який відповідає розсіянню назад[13]. Якщо на систему падає плоска когерентна електромагнітна хвиля, в кожному акті пружного розсіяння змінюється напрям та фаза хвилі. Розсіяння на випадково розподілених неоднорідностях призводить до того, що розсіяне світло стає повністю некогерентним. Однак кожній хвилі, що обходить деяку послідовність розсіювальних центрів, відповідає хвиля, яка проходить ту ж послідовність в протилежному напрямку. Такі хвилі є когерентними. Тому за розсіяння назад, коли оптичні шляхи та сумарний зсув фаз для обох хвиль строго однакові, спостерігається максимум інтенсивності.

Слабка антилокалізація

У системах зі спін-орбітальною взаємодією спін електрона пов'язаний з його імпульсом. Спіни електронів, що рухаються по замкненому контуру в протилежних напрямах, мають зворотні орієнтації. У зв'язку з цим електронні хвилі, які пов'язані з двома протилежними напрямами обходу замкненого контуру, інтерферують у початковій точці в протифазі. Це зменшує ймовірність розсіяння електрона назад в порівнянні з ймовірністю розсіяння в інших напрямках. Дане явище іноді називають антилокалізацією. На відміну від слабкої локалізації, де електричний опір підвищується, антилокалізація призводить до зниження опору[10].

Слабка антилокалізація подібно до слабкої локалізації руйнується в магнітному полі.

Експериментальне підтвердження слабкої локалізації

За низьких температур, коли теплові коливання атомів відносно малі, електричний опір металів має визначатися розсіянням електронів на домішках. До відкриття слабкої локалізації здавалося природним, що електроопір з підвищенням температури повинен зростати, оскільки теплові коливання атомів призводять до додаткового розсіяння носіїв струму на фононах. Слабка локалізація призводить до аномальної температурної залежності електроопору, коли з підвищенням температури електричний опір зменшується. Це зумовлено тим, що з підвищенням температури, крім пружного розсіяння, дедалі більше відчувається непружне розсіяння електронів на теплових коливаннях, що зменшує ступінь когерентності електронних хвиль і руйнує слабку локалізацію. З подальшим підвищенням температури слабка локалізація руйнується повністю й електроопір починає зростати через розсіяння на фононах. Таким чином, на температурній залежності електроопору має спостерігатися мінімум. Крім того, оскільки [9], то в області досить низьких температур для достатньо тонких плівок повинна спостерігатися логарифмічна залежність квантової поправки до електричного опору від температури. Така поведінка електричного опору плівок в області низьких температур була виявлена експериментально, наприклад, в роботах[14][15] та багатьох інших.

Разом з тим, виявлення відповідної поведінки електричного опору певних матеріалів при зміні температури навряд чи можна вважати беззаперечним доказом існування в них ефектів слабкої локалізації, адже подібні температурні залежності поправок до провідності дає і міжелектронна інтерференція (електрон-електронна взаємодія). Неспростовні докази існування ефектів слабкої локалізації були отримані під час вивчення поведінки електричного опору відповідних матеріалів у магнітних полях за температур існування квантових поправок до провідності, адже на міжелектронну інтерференцію магнітне поле практично не впливає. Крім того, що теорія слабкої локалізації пояснила існування негативного магнетоопору, експериментально були виявлені передбачені теорією слабкої локалізації осциляції електричного опору в циліндричних плівках[11] та універсальні флуктуації кондактансу в мезоскопічних зразках[16].

Практичне значення

Крім теоретичного теорія слабкої локалізації має суттєве прикладне значення. Практичний інтерес до систем, в яких можуть проявлятись ефекти слабкої локалізації, зумовлений швидким розвитком субмікронної напівпровідникової технології. Теорія слабкої локалізації стала своєрідним поштовхом до виникнення мезоскопічної фізики — відносно нового напряму фізики твердого тіла, який має важливе прикладне значення. В мезоскопіці принциповим є порівняння розміру системи з довжиною збою фази електрона. В системах, розмір яких не перевищує довжину збою фази, є необхідним розгляд інтерференції електронних хвиль. З'явилася реальна можливість створення напівпровідникових приладів на основі сугубо квантових ефектів, характерних для одно- та двомірних електронних систем. Широкі функціональні можливості таких «квантових» напівпровідникових елементів дозволять суттєво розширити можливості елементної бази мікро- і наноелектроніки[en][17].

Не менш важливе практичне значення має ефект слабкої локалізації електромагнітних хвиль. Області його практичного використання — оптична діагностика частинок біологічного та штучного походження в таких дисциплінах як медицина, біологія, хімія, екологія, нанофізика та нанотехнології, від детектування об'єктів в густому тумані до вивчення структури біологічних об'єктів з допомогою видимого світла. В астрофізиці та геофізиці відкриваються унікальні можливості для вивчення речовини планетних систем та інших дисперсних середовищ, таких як хмари, атмосфери планет, їхні кільця, комети, міжпланетний пил тощо[18].

Історія та персоналії

Ефект слабкої локалізації — від'ємний магнетоопір — експериментально вперше виявив у 1948 році Ченцов Р. А.[19]. Протягом тривалого проміжку часу майже в 30 років його безуспішно намагалися пояснити різного роду теоріями. І тільки в 1979 році воно було пояснено як універсальне явище, яке повинне спостерігатися в будь-якому металічному провіднику за певних умов[4]. Кількісна послідовна теорія слабкої локалізації була побудована групою радянських фізиків-теоретиків Б. Альтшулером, А. Ароновим, А. Ларкіним і Д. Хмельницьким[8] в 1981 році, яка була підтверджена численними експериментами. У тому ж 1981 році Шарвін Д. Ю. та Шарвін Ю. В. виявили осциляції електричного опору в тонкостінному циліндрі за зміни магнітного поля[11]. У 1985 році експериментальним шляхом було підтверджено існування слабкої локалізації для електромагнітних хвиль[13][20].

Див. також

Примітки

Джерела

  • Гантмахер В. Ф. Электроны в неупорядоченных средах. — М. : Физматлит, 2013. — 288 с. — ISBN 978-5-9221-1487-5.(рос.)
  • Eric Akketmans, Gilles Montambaux. Mesoscopic Physics of Electrons and Fotons. — 1 ed. — Cambridge, UK : Cambridge University Press, 2007. — 606 с. — ISBN 978-0521855129.(англ.)
  • Шкловский В. А., Белецкий В. И. Локализация и мезоскопические эффекты в металлах при низких температурах: Учебно-метод. пособие. — Х. : ХНУ имени В. Н. Каразина, 2012. — С. 72.(рос.)
  • Полянская Т. А., Шмарцев Ю. В. Квантовые поправки к проводимости в полупроводниках с двумерным и трехмерным электронным газом // Физика и техника полупроводников. — 1989. — Т. 23, № 1. — С. 3—32.(рос.)
  • Лисоченко С. В., Іщук Л. В., Жарких Ю. С., Третяк О. В. Гальваномагнітні дослідження плівок Іn2O3 при температурі рідкого гелію // Вісник Київського університету. — 2005. — № 3. — С. 407—416. — (Фіз.-мат. науки).
  • Altshuler, B. L.; Khmel'nitzkii, D.; Larkin, A. I.; Lee, P. A. (1980). Magnetoresistance and Hall effect in a disordered two-dimensional electron gas. Phys. Rev. B 22: 5142. doi:10.1103/PhysRevB.22.5142. (англ.)
  • Мотт Н., Дэвис Э. Электронные процессы в некристаллических веществах. — 2-е изд., перераб. и доп. — М. : Мир, 1982. — 386 с.(рос.)
  • Кузьмин В. Л., Романов В. П. Когерентные еффекты при рассеянии света в неупорядоченных системах // Успехи физических наук. — 1996. — Т. 166, № 3. — С. 247—278.(рос.)
  • Imry Y. Introduction to Mesoscopic Physics. — New York Oxford : Oxford University Press, 2002. — 264 с.(англ.)
  • Шарвин Д. Ю., Шарвин Ю. В. Квантование магнитного потока в цилиндрической пленке из нормального металла // Письма в ЖЭТФ. — 1981. — Т. 34, № 5. — С. 285—288.(рос.)
  • Van Albada, M. P.; Lagendijk, А. (1985). Observation of weak localization of light in a random medium. Phys. Rev. Lett 55: 2692—2695. (англ.)
  • Дорожкин С. И., Долгополов В. Т. Исследование нелинейности вольт-амперных характеристик тонких пленок золота // Письма в ЖЭТФ. — 1982. — Т. 36, № 1. — С. 15—18.(рос.)
  • Van den Dries, L.; Van Haesendonck, C.; Bruynseraede, Y.; Deutscher, G. (1981). Two-Dimensional Localization in Thin Copper Films. Phys. Rev. Lett. 46: 565. (англ.)
  • Umbach, C. P.; Washburn, S.; Laibowitz, R. B.; Webb, R. A. (1984). Magnetoresistance of small, quasi-one-dimensional, normal metal rings and lines. Phys. Rev. B. 30 (7): 4048—4051. (англ.)
  • Wolf, P.; Maret, G. (1985). Weak Localization and Coherent Backscattering of Photons in Disordered Media. Phys. Rev. Lett. 55: 2696. (англ.)
  • Основи мезоскопічної фізики: навч. посіб / М. В. Москалець. — Х.; Нац. техн. ун-т «Харк. політехн. ін-т» : НТУ «ХПІ», 2010. — 180 с. — 50 прим. — ISBN 978-966-593-836-1.
  • Абрикосов А. А. Основы теории металлов: Учебное руководство. — М. : Наука, Гл. ред. физ. мат. лит, 1987. — 520 с.(рос.)