圓周率

圓周率是一个数学常数,为一个周长和其直径的比率PI(後100000位)=3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406 2862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594 0812848111745028410270193852110555964462294895493038196442881097566593344 6128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260 2491412737245870066063155881748815209209628292540917153643678925903600113 3053054882046652138414695194151160943305727036575959195309218611738193261 1793105118548074462379962749567351885752724891227938183011949129833673362 4406566430860213949463952247371907021798609437027705392171762931767523846 7481846766940513200056812714526356082778577134275778960917363717872146844 0901224953430146549585371050792279689258923542019956112129021960864034418 1598136297747713099605187072113499999983729780499510597317328160963185950 2445945534690830264252230825334468503526193118817101000313783875288658753 3208381420617177669147303598253490428755468731159562863882353787593751957 7818577805321712268066130019278766111959092164201989380952572010654858632 7886593615338182796823030195203530185296899577362259941389124972177528347 9131515574857242454150695950829533116861727855889075098381754637464939319 2550604009277016711390098488240128583616035637076601047101819429555961989 4676783744944825537977472684710404753464620804668425906949129331367702898 9152104752162056966024058038150193511253382430035587640247496473263914199 2726042699227967823547816360093417216412199245863150302861829745557067498 3850549458858692699569092721079750930295532116534498720275596023648066549 9119881834797753566369807426542527862551818417574672890977772793800081647 0600161452491921732172147723501414419735685481613611573525521334757418494 6843852332390739414333454776241686251898356948556209921922218427255025425 6887671790494601653466804988627232791786085784383827967976681454100953883 7863609506800642251252051173929848960841284886269456042419652850222106611 8630674427862203919494504712371378696095636437191728746776465757396241389 0865832645995813390478027590099465764078951269468398352595709825822620522 4894077267194782684826014769909026401363944374553050682034962524517493996 5143142980919065925093722169646151570985838741059788595977297549893016175 3928468138268683868942774155991855925245953959431049972524680845987273644 6958486538367362226260991246080512438843904512441365497627807977156914359 9770012961608944169486855584840635342207222582848864815845602850601684273 9452267467678895252138522549954666727823986456596116354886230577456498035 5936345681743241125150760694794510965960940252288797108931456691368672287 4894056010150330861792868092087476091782493858900971490967598526136554978 1893129784821682998948722658804857564014270477555132379641451523746234364 5428584447952658678210511413547357395231134271661021359695362314429524849 3718711014576540359027993440374200731057853906219838744780847848968332144 5713868751943506430218453191048481005370614680674919278191197939952061419 6634287544406437451237181921799983910159195618146751426912397489409071864 9423196156794520809514655022523160388193014209376213785595663893778708303 9069792077346722182562599661501421503068038447734549202605414665925201497 4428507325186660021324340881907104863317346496514539057962685610055081066

0420337869936007230558763176359421873125147120532928191826186125867321579 1984148488291644706095752706957220917567116722910981690915280173506712748 5832228718352093539657251210835791513698820914442100675103346711031412671 1136990865851639831501970165151168517143765761835155650884909989859982387 3455283316355076479185358932261854896321329330898570642046752590709154814 1654985946163718027098199430992448895757128289059232332609729971208443357 3265489382391193259746366730583604142813883032038249037589852437441702913 2765618093773444030707469211201913020330380197621101100449293215160842444 8596376698389522868478312355265821314495768572624334418930396864262434107 7322697802807318915441101044682325271620105265227211166039666557309254711 0557853763466820653109896526918620564769312570586356620185581007293606598 7648611791045334885034611365768675324944166803962657978771855608455296541 2665408530614344431858676975145661406800700237877659134401712749470420562 2305389945613140711270004078547332699390814546646458807972708266830634328 5878569830523580893306575740679545716377525420211495576158140025012622859 4130216471550979259230990796547376125517656751357517829666454779174501129 9614890304639947132962107340437518957359614589019389713111790429782856475 0320319869151402870808599048010941214722131794764777262241425485454033215 7185306142288137585043063321751829798662237172159160771669254748738986654 9494501146540628433663937900397692656721463853067360965712091807638327166 4162748888007869256029022847210403172118608204190004229661711963779213375 7511495950156604963186294726547364252308177036751590673502350728354056704 0386743513622224771589150495309844489333096340878076932599397805419341447 3774418426312986080998886874132604721569516239658645730216315981931951673 5381297416772947867242292465436680098067692823828068996400482435403701416 3149658979409243237896907069779422362508221688957383798623001593776471651 2289357860158816175578297352334460428151262720373431465319777741603199066 5541876397929334419521541341899485444734567383162499341913181480927777103 8638773431772075456545322077709212019051660962804909263601975988281613323 1666365286193266863360627356763035447762803504507772355471058595487027908 1435624014517180624643626794561275318134078330336254232783944975382437205 8353114771199260638133467768796959703098339130771098704085913374641442822 7726346594704745878477872019277152807317679077071572134447306057007334924 3693113835049316312840425121925651798069411352801314701304781643788518529 0928545201165839341965621349143415956258658655705526904965209858033850722 4264829397285847831630577775606888764462482468579260395352773480304802900 5876075825104747091643961362676044925627420420832085661190625454337213153 5958450687724602901618766795240616342522577195429162991930645537799140373 4043287526288896399587947572917464263574552540790914513571113694109119393 2519107602082520261879853188770584297259167781314969900901921169717372784 7684726860849003377024242916513005005168323364350389517029893922334517220 1381280696501178440874519601212285993716231301711444846409038906449544400 6198690754851602632750529834918740786680881833851022833450850486082503930 2133219715518430635455007668282949304137765527939751754613953984683393638 3047461199665385815384205685338621867252334028308711232827892125077126294 6322956398989893582116745627010218356462201349671518819097303811980049734 0723961036854066431939509790190699639552453005450580685501956730229219139 3391856803449039820595510022635353619204199474553859381023439554495977837

3154706965747458550332323342107301545940516553790686627333799585115625784 3229882737231989875714159578111963583300594087306812160287649628674460477 4649159950549737425626901049037781986835938146574126804925648798556145372 3478673303904688383436346553794986419270563872931748723320837601123029911 3679386270894387993620162951541337142489283072201269014754668476535761647 7379467520049075715552781965362132392640616013635815590742202020318727760 5277219005561484255518792530343513984425322341576233610642506390497500865 6271095359194658975141310348227693062474353632569160781547818115284366795 7061108615331504452127473924544945423682886061340841486377670096120715124 9140430272538607648236341433462351897576645216413767969031495019108575984 4239198629164219399490723623464684411739403265918404437805133389452574239 9508296591228508555821572503107125701266830240292952522011872676756220415 4205161841634847565169998116141010029960783869092916030288400269104140792 8862150784245167090870006992821206604183718065355672525325675328612910424 8776182582976515795984703562226293486003415872298053498965022629174878820 2734209222245339856264766914905562842503912757710284027998066365825488926 4880254566101729670266407655904290994568150652653053718294127033693137851 7860904070866711496558343434769338578171138645587367812301458768712660348 9139095620099393610310291616152881384379099042317473363948045759314931405 2976347574811935670911013775172100803155902485309066920376719220332290943 3467685142214477379393751703443661991040337511173547191855046449026365512 8162288244625759163330391072253837421821408835086573917715096828874782656 9959957449066175834413752239709683408005355984917541738188399944697486762 6551658276584835884531427756879002909517028352971634456212964043523117600 6651012412006597558512761785838292041974844236080071930457618932349229279 6501987518721272675079812554709589045563579212210333466974992356302549478 0249011419521238281530911407907386025152274299581807247162591668545133312 3948049470791191532673430282441860414263639548000448002670496248201792896 4766975831832713142517029692348896276684403232609275249603579964692565049 3681836090032380929345958897069536534940603402166544375589004563288225054 5255640564482465151875471196218443965825337543885690941130315095261793780 0297412076651479394259029896959469955657612186561967337862362561252163208 6286922210327488921865436480229678070576561514463204692790682120738837781 4233562823608963208068222468012248261177185896381409183903673672220888321 5137556003727983940041529700287830766709444745601345564172543709069793961 2257142989467154357846878861444581231459357198492252847160504922124247014 1214780573455105008019086996033027634787081081754501193071412233908663938 3395294257869050764310063835198343893415961318543475464955697810382930971 6465143840700707360411237359984345225161050702705623526601276484830840761 1830130527932054274628654036036745328651057065874882256981579367897669742 2057505968344086973502014102067235850200724522563265134105592401902742162 4843914035998953539459094407046912091409387001264560016237428802109276457 9310657922955249887275846101264836999892256959688159205600101655256375678 5667227966198857827948488558343975187445455129656344348039664205579829368 0435220277098429423253302257634180703947699415979159453006975214829336655 5661567873640053666564165473217043903521329543529169414599041608753201868 3793702348886894791510716378529023452924407736594956305100742108714261349 7459561513849871375704710178795731042296906667021449863746459528082436944

4274716460243354400515212669324934196739770415956837535551667302739007497 2973635496453328886984406119649616277344951827369558822075735517665158985 5190986665393549481068873206859907540792342402300925900701731960362254756 4789406475483466477604114632339056513433068449539790709030234604614709616 9688688501408347040546074295869913829668246818571031887906528703665083243 1974404771855678934823089431068287027228097362480939962706074726455399253 9944280811373694338872940630792615959954626246297070625948455690347119729 9640908941805953439325123623550813494900436427852713831591256898929519642 7287573946914272534366941532361004537304881985517065941217352462589548730 1676002988659257866285612496655235338294287854253404830833070165372285635 5915253478445981831341129001999205981352205117336585640782648494276441137 6393866924803118364453698589175442647399882284621844900877769776312795722 6726555625962825427653183001340709223343657791601280931794017185985999338 4923549564005709955856113498025249906698423301735035804408116855265311709 9570899427328709258487894436460050410892266917835258707859512983441729535 1953788553457374260859029081765155780390594640873506123226112009373108048 5485263572282576820341605048466277504500312620080079980492548534694146977 5164932709504934639382432227188515974054702148289711177792376122578873477 1881968254629812686858170507402725502633290449762778944236216741191862694 3965067151577958675648239939176042601763387045499017614364120469218237076 4887834196896861181558158736062938603810171215855272668300823834046564758 8040513808016336388742163714064354955618689641122821407533026551004241048 9678352858829024367090488711819090949453314421828766181031007354770549815 9680772009474696134360928614849417850171807793068108546900094458995279424 3981392135055864221964834915126390128038320010977386806628779239718014613 4324457264009737425700735921003154150893679300816998053652027600727749674 5840028362405346037263416554259027601834840306811381855105979705664007509 4260878857357960373245141467867036880988060971642584975951380693094494015 1542222194329130217391253835591503100333032511174915696917450271494331515 5885403922164097229101129035521815762823283182342548326111912800928252561 9020526301639114772473314857391077758744253876117465786711694147764214411 1126358355387136101102326798775641024682403226483464176636980663785768134 9204530224081972785647198396308781543221166912246415911776732253264335686 1461865452226812688726844596844241610785401676814208088502800541436131462 3082102594173756238994207571362751674573189189456283525704413354375857534 2698699472547031656613991999682628247270641336222178923903176085428943733 9356188916512504244040089527198378738648058472689546243882343751788520143 9560057104811949884239060613695734231559079670346149143447886360410318235 0736502778590897578272731305048893989009923913503373250855982655867089242 6124294736701939077271307068691709264625484232407485503660801360466895118 4009366860954632500214585293095000090715105823626729326453738210493872499 6699339424685516483261134146110680267446637334375340764294026682973865220 9357016263846485285149036293201991996882851718395366913452224447080459239 6602817156551565666111359823112250628905854914509715755390024393153519090 2107119457300243880176615035270862602537881797519478061013715004489917210 0222013350131060163915415895780371177927752259787428919179155224171895853 6168059474123419339842021874564925644346239253195313510331147639491199507 2858430658361935369329699289837914941939406085724863968836903265564364216

9879825989109371712621828302584811238901196822142945766758071865380650648 7026133892822994972574530332838963818439447707794022843598834100358385423 8973542439564755568409522484455413923941000162076936368467764130178196593 7997155746854194633489374843912974239143365936041003523437770658886778113 9498616478747140793263858738624732889645643598774667638479466504074111825 6583788784548581489629612739984134427260860618724554523606431537101127468 0977870446409475828034876975894832824123929296058294861919667091895808983 3201210318430340128495116203534280144127617285830243559830032042024512072 8725355811958401491809692533950757784000674655260314461670508276827722235 3419110263416315714740612385042584598841990761128725805911393568960143166 8283176323567325417073420817332230462987992804908514094790368878687894930 5469557030726190095020764334933591060245450864536289354568629585313153371 8386826561786227363716975774183023986006591481616404944965011732131389574 7062088474802365371031150898427992754426853277974311395143574172219759799 3596852522857452637962896126915723579866205734083757668738842664059909935 0500081337543245463596750484423528487470144354541957625847356421619813407 3468541117668831186544893776979566517279662326714810338643913751865946730 0244345005449953997423723287124948347060440634716063258306498297955101095 4183623503030945309733583446283947630477564501500850757894954893139394489 9216125525597701436858943585877526379625597081677643800125436502371412783 4679261019955852247172201777237004178084194239487254068015560359983905489 8572354674564239058585021671903139526294455439131663134530893906204678438 7785054239390524731362012947691874975191011472315289326772533918146607300 0890277689631148109022097245207591672970078505807171863810549679731001678 7085069420709223290807038326345345203802786099055690013413718236837099194 9516489600755049341267876436746384902063964019766685592335654639138363185 7456981471962108410809618846054560390384553437291414465134749407848844237 7217515433426030669883176833100113310869042193903108014378433415137092435 3013677631084913516156422698475074303297167469640666531527035325467112667 5224605511995818319637637076179919192035795820075956053023462677579439363 0746305690108011494271410093913691381072581378135789400559950018354251184 1721360557275221035268037357265279224173736057511278872181908449006178013 8897107708229310027976659358387589093956881485602632243937265624727760378 9081445883785501970284377936240782505270487581647032458129087839523245323 7896029841669225489649715606981192186584926770403956481278102179913217416 3058105545988013004845629976511212415363745150056350701278159267142413421 0330156616535602473380784302865525722275304999883701534879300806260180962 3815161366903341111386538510919367393835229345888322550887064507539473952 0439680790670868064450969865488016828743437861264538158342807530618454859 0379821799459968115441974253634439960290251001588827216474500682070419376 1584547123183460072629339550548239557137256840232268213012476794522644820 9102356477527230820810635188991526928891084555711266039650343978962782500 1611015323516051965590421184494990778999200732947690586857787872098290135 2956613978884860509786085957017731298155314951681467176959760994210036183 5591387778176984587581044662839988060061622984861693533738657877359833616 1338413385368421197893890018529569196780455448285848370117096721253533875 8621582310133103877668272115726949518179589754693992642197915523385766231 6762754757035469941489290413018638611943919628388705436777432242768091323

0899506854530765116803337322265175662207526951791442252808165171667766727 9303548515420402381746089232839170327542575086765511785939500279338959205 7668278967764453184040418554010435134838953120132637836928358082719378312 6549617459970567450718332065034556644034490453627560011250184335607361222 7659492783937064784264567633881880756561216896050416113903906396016202215 3684941092605387688714837989559999112099164646441191856827700457424343402 1672276445589330127781586869525069499364610175685060167145354315814801054 5886056455013320375864548584032402987170934809105562116715468484778039447 5697980426318099175642280987399876697323769573701580806822904599212366168 9025962730430679316531149401764737693873514093361833216142802149763399189 8354848756252987524238730775595559554651963944018218409984124898262367377 1467226061633643296406335728107078875816404381485018841143188598827694490 1193212968271588841338694346828590066640806314077757725705630729400492940 3024204984165654797367054855804458657202276378404668233798528271057843197 5354179501134727362577408021347682604502285157979579764746702284099956160 1569108903845824502679265942055503958792298185264800706837650418365620945 5543461351341525700659748819163413595567196496540321872716026485930490397 8748958906612725079482827693895352175362185079629778514618843271922322381 0158744450528665238022532843891375273845892384422535472653098171578447834 2158223270206902872323300538621634798850946954720047952311201504329322662 8272763217790884008786148022147537657810581970222630971749507212724847947 8169572961423658595782090830733233560348465318730293026659645013718375428 8975579714499246540386817992138934692447419850973346267933210726868707680 6263991936196504409954216762784091466985692571507431574079380532392523947 7557441591845821562518192155233709607483329234921034514626437449805596103 3079941453477845746999921285999993996122816152193148887693880222810830019 8601654941654261696858678837260958774567618250727599295089318052187292461 0867639958916145855058397274209809097817293239301067663868240401113040247 0073508578287246271349463685318154696904669686939254725194139929146524238 5776255004748529547681479546700705034799958886769501612497228204030399546 3278830695976249361510102436555352230690612949388599015734661023712235478 9112925476961760050479749280607212680392269110277722610254414922157650450 8120677173571202718024296810620377657883716690910941807448781404907551782 0385653909910477594141321543284406250301802757169650820964273484146957263 9788425600845312140659358090412711359200419759851362547961606322887361813 6737324450607924411763997597461938358457491598809766744709300654634242346 0634237474666080431701260052055928493695941434081468529815053947178900451 8357551541252235905906872648786357525419112888773717663748602766063496035 3679470269232297186832771739323619200777452212624751869833495151019864269 8878471719396649769070825217423365662725928440620430214113719922785269984 6988477023238238400556555178890876613601304770984386116870523105531491625 1728373272867600724817298763756981633541507460883866364069347043720668865 1275688266149730788657015685016918647488541679154596507234287730699853713 9043002665307839877638503238182155355973235306860430106757608389086270498 4188859513809103042359578249514398859011318583584066747237029714978508414 5853085781339156270760356390763947311455495832266945702494139831634332378 9759556808568362972538679132750555425244919435891284050452269538121791319 1451350099384631177401797151228378546011603595540286440590249646693070776

2990127286772530431825197579167929699650414607066457125888346979796429316 2296552016879730003564630457930884032748077181155533090988702550520768046 3034608658165394876951960044084820659673794731680864156456505300498816164 9057883115434548505266006982309315777650037807046612647060214575057932709 6204782561524714591896522360839664562410519551052235723973951288181640597 8591427914816542632892004281609136937773722299983327082082969955737727375 6676155271139225880552018988762011416800546873655806334716037342917039079 8639652296131280178267971728982293607028806908776866059325274637840539769 1848082041021944719713869256084162451123980620113184541244782050110798760 7171556831540788654390412108730324020106853419472304766667217498698685470 7678120512473679247919315085644477537985379973223445612278584329684664751 3336573692387201464723679427870042503255589926884349592876124007558756946 4137056251400117971331662071537154360068764773186755871487839890810742953 0941060596944315847753970094398839491443235366853920994687964506653398573 8887866147629443414010498889931600512076781035886116602029611936396821349 6075011164983278563531614516845769568710900299976984126326650234771672865 7378579085746646077228341540311441529418804782543876177079043000156698677 6795760909966936075594965152736349811896413043311662774712338817406037317 4397054067031096767657486953587896700319258662594105105335843846560233917 9674926784476370847497833365557900738419147319886271352595462518160434225 3729962863267496824058060296421146386436864224724887283434170441573482481 8333016405669596688667695634914163284264149745333499994800026699875888159 3507357815195889900539512085351035726137364034367534714104836017546488300 4078464167452167371904831096767113443494819262681110739948250607394950735 0316901973185211955263563258433909982249862406703107683184466072912487475 4031617969941139738776589986855417031884778867592902607004321266617919223 5209382278788809886335991160819235355570464634911320859189796132791319756 4909760001399623444553501434642686046449586247690943470482932941404111465 4092398834443515913320107739441118407410768498106634724104823935827401944 9356651610884631256785297769734684303061462418035852933159734583038455410 3370109167677637427621021370135485445092630719011473184857492331816720721 3727935567952844392548156091372812840633303937356242001604566455741458816 6052166608738748047243391212955877763906969037078828527753894052460758496 2315743691711317613478388271941686066257210368513215664780014767523103935 7860689611125996028183930954870905907386135191459181951029732787557104972 9011487171897180046961697770017913919613791417162707018958469214343696762 9274591099400600849835684252019155937037010110497473394938778859894174330 3178534870760322198297057975119144051099423588303454635349234982688362404 3327267415540301619505680654180939409982020609994140216890900708213307230 8966211977553066591881411915778362729274615618571037217247100952142369648 3086410259288745799932237495519122195190342445230753513380685680735446499 5127203174487195403976107308060269906258076020292731455252078079914184290 6388443734996814582733720726639176702011830046481900024130835088465841521 4899127610651374153943565721139032857491876909441370209051703148777346165 2879848235338297260136110984514841823808120540996125274580881099486972216 1285248974255555160763716750548961730168096138038119143611439921063800508 3214098760459930932485102516829446726066613815174571255975495358023998314 6982203613380828499356705575524712902745397762140493182014658008021566536

9225831912741573908091438313845642415094084913391809684025116399193685322 5557338966953749026620923261318855891580832455571948453875628786128859004 1060060737465014026278240273469625282171749415823317492396835301361786536 7376064216677813773995100658952887742766263684183068019080460984980946976 3667335662282915132352788806157768278159588669180238940333076441912403412 0223163685778603572769415417788264352381319050280870185750470463129333537 5728538660588890458311145077394293520199432197117164223500564404297989208 1594307167019857469273848653833436145794634175922573898588001698014757420 5429958012429581054565108310462972829375841611625325625165724980784920998 9799062003593650993472158296517413579849104711166079158743698654122234834 1887722929446335178653856731962559852026072947674072616767145573649812105 6777168934849176607717052771876011999081441130586455779105256843048114402 6193840232247093924980293355073184589035539713308844617410795916251171486 4874468611247605428673436709046678468670274091881014249711149657817724279 3470702166882956108777944050484375284433751088282647719785400065097040330 2186255614733211777117441335028160884035178145254196432030957601869464908 8681545285621346988355444560249556668436602922195124830910605377201980218 3101032704178386654471812603971906884623708575180800353270471856594994761 2424811099928867915896904956394762460842406593094862150769031498702067353 3848349550836366017848771060809804269247132410009464014373603265645184566 7924566695510015022983307984960799498824970617236744936122622296179081431 1414660941234159359309585407913908720832273354957208075716517187659944985 6937956238755516175754380917805280294642004472153962807463602113294255916 0025707356281263873310600589106524570802447493754318414940148211999627645 3106800663118382376163966318093144467129861552759820145141027560068929750 2463040173514891945763607893528555053173314164570504996443890936308438744 8478396168405184527328840323452024705685164657164771393237755172947951261 3239822960239454857975458651745878771331813875295980941217422730035229650 8089177705068259248822322154938048371454781647213976820963320508305647920 4820859204754998573203888763916019952409189389455767687497308569559580106 5952650303626615975066222508406742889826590751063756356996821151094966974 4580547288693631020367823250182323708459790111548472087618212477813266330 4120762165873129708112307581598212486398072124078688781145016558251361789 0307086087019897588980745664395515741536319319198107057533663373803827215 2798849350397480015890519420879711308051233933221903466249917169150948541 4018710603546037946433790058909577211808044657439628061867178610171567409 6766208029576657705129120990794430463289294730615951043090222143937184956 0634056189342513057268291465783293340524635028929175470872564842600349629 6116541382300773133272983050016025672401418515204189070115428857992081219 8449315699905918201181973350012618772803681248199587707020753240636125931 3438595542547781961142935163561223496661522614735399674051584998603552953 3292457523888101362023476246690558164389678630976273655047243486430712184 9437348530060638764456627218666170123812771562137974614986132874411771455 2444708997144522885662942440230184791205478498574521634696448973892062401 9435183100882834802492490854030778638751659113028739587870981007727182718 7452901397283661484214287170553179654307650453432460053636147261818096997 6933486264077435199928686323835088756683595097265574815431940195576850437 2480010204137498318722596773871549583997184449072791419658459300839426370

5718821949391320753431707980023736590985375520238911643467185582906853711 8979526262344924833924963424497146568465912489185566295893299090352392333 3364743520370770101084388003290759834217018554228386161721041760301164591 8780539367447472059985023582891833692922337323999480437108419659473162654 8257480994825099918330069765693671596893644933488647442135008407006608835 9723503953234017958255703601693699098867113210979889707051728075585519126 9930673099250704070245568507786790694766126298082251633136399521170984528 0926303759224267425755998928927837047444521893632034894155210445972618838 0030067761793138139916205806270165102445886924764924689192461212531027573 1390840470007143561362316992371694848132554200914530410371354532966206392 1054798243921251725401323149027405858920632175894943454890684639931375709 1034633271415316223280552297297953801880162859073572955416278867649827418 6164218789885741071649069191851162815285486794173638906653885764229158342 5006736124538491606741373401735727799563410433268835695078149313780073623 5418007061918026732855119194267609122103598746924117283749312616339500123 9599240508454375698507957046222664619000103500490183034153545842833764378 1119885563187777925372011667185395418359844383052037628194407615941068207 1697030228515225057312609304689842343315273213136121658280807521263154773 0604423774753505952287174402666389148817173086436111389069420279088143119 4487994171540421034121908470940802540239329429454938786402305129271190975 1353600092197110541209668311151632870542302847007312065803262641711616595 7613272351566662536672718998534199895236884830999302757419916463841427077 9887088742292770538912271724863220288984251252872178260305009945108247835 7290569198855546788607946280537122704246654319214528176074148240382783582 9719301017888345674167811398954750448339314689630763396657226727043393216 7454218245570625247972199786685427989779923395790575818906225254735822052 3642485078340711014498047872669199018643882293230538231855973286978092225 3529591017341407334884761005564018242392192695062083183814546983923664613 6398910121021770959767049083050818547041946643713122996923588953849301363 5657618610606222870559942337163102127845744646398973818856674626087948201 8647487672727222062676465338099801966883680994159075776852639865146253336 3124505364026105696055131838131742611844201890888531963569869627950367384 2431301133175330532980201668881748134298868158557781034323175306478498321 0629718425184385534427620128234570716988530518326179641178579608888150329 6022907056144762209150947390359466469162353968092013945781758910889319921 1226007392814916948161527384273626429809823406320024402449589445612916704 9508235812487391799648641133480324757775219708932772262349486015046652681 4398770516153170266969297049283162855042128981467061953319702695072143782 3047687528028735412616639170824592517001071418085480063692325946201900227 8087409859771921805158532147392653251559035410209284665925299914353791825 3145452905984158176370589279069098969111643811878094353715213322614436253 1449012745477269573939348154691631162492887357471882407150399500944673195 4316193855485207665738825139639163576723151005556037263394867208207808653 7349424401157996675073607111593513319591971209489647175530245313647709420 9463569698222667377520994516845064362382421185353488798939567318780660610 7885440005508276570305587448541805778891719207881423351138662929667179643 4687600770479995378833878703487180218424373421122739402557176908196030920 1824018842705704609262256417837526526335832424066125331152942345796556950

9990049993953221536227484766036136776979785673865846709366795885837887956 2594646489137665219958828693380183601193236857855855819555604215625088365 0203322024513762158204618106705195330653060606501054887167245377942831338 8716313955969058320834168984760656071183471362181232462272588419902861420 8728495687963932546428534307530110528571382964370999035694888528519040295 6047346131138263878897551788560424998748316382804046848618938189590542039 8898726506976202019955484126500053944282039301274816381585303964399254702 0167275932857436666164411096256633730540921951967514832873480895747777527 8344221091073111351828046036347198185655572957144747682552857863349342858 4231187494400032296906977583159038580393535213588600796003420975473922967 3331064939560181223781285458431760556173386112673478074585067606304822940 9653041118306671081893031108871728167519579675347188537229309616143204006 3813224658411111577583585811350185690478153689381377184728147519983505047 8129771859908470762197460588742325699582889253504193795826061621184236876 8511418316068315867994601652057740529423053601780313357263267054790338401 2573059123396018801378254219270947673371919872873852480574212489211834708 7662966720727232565056512933312605950577772754247124164831283298207236175 0574673870128209575544305968395555686861188397135522084452852640081252027 6655576774959696266126045652456840861392382657685833846984997787267065551 9185446869846947849573462260629421962455708537127277652309895545019303773 2166649182578154677292005212667143463209637891852323215018976126034373684 0671941930377468809992968775824410478781232662531818459604538535438391144 9677531286426092521153767325886672260404252349108702695809964759580579466 3973419064010036361904042033113579336542426303561457009011244800890020801 4780566037101541223288914657223931450760716706435568274377439657890679726 8743847307634645167756210309860409271709095128086309029738504452718289274 9689212106670081648583395537735919136950153162018908887484210798706899114 8046692706509407620465027725286507289053285485614331608126930056937854178 6109696920253886503457718317668688592368148847527649846882194973972970773 7187188400414323127636504814531122850990020742409255859252926103021067368 1543470152523487863516439762358604191941296976904052648323470099111542426 0127343802208933109668636789869497799400126016422760926082349304118064382 9138347354679725399262338791582998486459271734059225620749105308531537182 9116816372193951887009577881815868504645076993439409874335144316263303172 4774748689791820923948083314397084067308407958935810896656477585990556376 9525232653614424780230826811831037735887089240613031336477371011628214614 6616794040905186152603600925219472188909181073358719641421444786548995285 8234394705007983038853886083103571930600277119455802191194289992272235345 8707566246926177663178855144350218287026685610665003531050216318206017609 2179846849368631612937279518730789726373537171502563787335797718081848784 5886650433582437700414771041493492743845758710715973155943942641257027096 5125108115548247939403597681188117282472158250109496096625393395380922195 5919181885526780621499231727631632183398969380756168559117529984501320671 2939240414459386239880938124045219148483164621014738918251010909677386906 6404158973610476436500068077105656718486281496371118832192445663945814491 4861655004956769826903089111856879869294705135248160917432430153836847072 9289898284602223730145265567989862776796809146979837826876431159883210904 3715611299766521539635464420869197567370005738764978437686287681792497469

8282567141288583454443513256205446424101103795546419058116862305964476958 7054072141985212106734332410756767575818456990693046047522770167005684543 9692340417110898889934163505851578873534308155208117720718803791040469830 6957868547393765643363197978680367187307969392423632144845035477631567025 5390065423117920153464977929066241508328858395290542637687668968805033317 2278001858850697362324038947004718976193473443084374437599250341788079722 3585913424581314404984770173236169471976571535319775499716278566311904691 2609182591249890367654176979903623755286526375733763526969344354400473067 1988689019681474287677908669796885225016369498567302175231325292653758964 1517147955953878427849986645630287883196209983049451987439636907068276265 7485810439112232618794059941554063270131989895703761105323606298674803779 1537675115830432084987209202809297526498125691634250005229088726469252846 6610466539217148208013050229805263783642695973370705392278915351056888393 8113249757071331029504430346715989448786847116438328050692507766274500122 0035262037094660234146489983902525888301486781621967751945831677187627572 0050543979441245990077115205154619930509838698254284640725554092740313257 1632640792934183342147090412542533523248021932277075355546795871638358750 1815933871742360615511710131235256334858203651461418700492057043720182617 3319471570086757853933607862273955818579758725874410254207710547536129404 7460100094095444959662881486915903899071865980563617137692227290764197755 1777201042764969496110562205925024202177042696221549587264539892276976603 1052498085575947163107587013320886146326641259114863388122028444069416948 8261529577625325019870359870674380469821942056381255833436421949232275937 2212890564209430823525440841108645453694049692714940033197828613181861888 1111840825786592875742638445005994422956858646048103301538891149948693543 6030221810943466764000022362550573631294626296096198760564259963946138692 3308371962659547392346241345977957485246478379807956931986508159776753505 5391899115133525229873611277918274854200868953965835942196333150286956119 2012298889887006079992795411188269023078913107603617634779489432032102773 3594169086500719328040171638406449878717537567811853213284082165711075495 2829497493621460821558320568723218557406516109627487437509809223021160998 2633033915469494644491004515280925089745074896760324090768983652940657920 1983152654106581368237919840906457124689484702093577611931399802468134052 0039478194986620262400890215016616381353838151503773502296607462795291038 4068685569070157516624192987244482719429331004854824454580718897633003232 5258215812803274679620028147624318286221710543528983482082734516801861317 1959332471107466222850871066611770346535283957762599774467218571581612641 1143271794347885990892808486694914139097716736900277758502686646540565950 3948678411107901161040085727445629384254941675946054871172359464291058509 0995021495879311219613590831588262068233215615308683373083817327932819698 3875087083483880463884784418840031847126974543709373298362402875197920802 3218787448828728437273780178270080587824107493575148899789117397461293203 5108143270325140903048746226294234432757126008664250833318768865075642927 1605525289544921537651751492196367181049435317858383453865255656640657251 3635750643532365089367904317025978781771903148679638408288102094614900797 1513771709906195496964007086766710233004867263147551053723175711432231741 1411680622864206388906210192355223546711662137499693269321737043105987225 0394565749246169782609702533594750209138366737728944386964000281103440260

4231732264637847697875144332095340001650692130546476890985050203015044880 8342618452087305309731894929164253229336124315143065782640702838984098416 0295030924189712097160164926561341343342229882790992178604267981245728534 5801338260995877178113102167340256562744007296834066198480676615805021691 8337236803990279316064204368120799003162644491461902194582296909921227885 5394878353830564686488165556229431567312827439082645061162894280350166133 6697824051770155219626522725455850738640585299830379180350432876703809252 1679075712040612375963276856748450791511473134400018325703449209097124358 0944790046249431345502890068064870429353403743603262582053579011839564908 9354345101342969617545249573960621490288728932792520696535386396443225388 3275224996059869747598823299162635459733244451637553343774929289905811757 8635555562693742691094711700216541171821975051983178713710605106379555858 8905568852887989084750915764639074693619881507814685262133252473837651192 9901561091897779220087057933964638274906806987691681974923656242260871541 7610043060890437797667851966189140414492527048088197149880154205778700652 1594009289777601330756847966992955433656139847738060394368895887646054983 8714789684828053847017308711177611596635050399793438693391197898871091565 4170913308260764740630571141109883938809548143782847452883836807941888434 2666222070438722887413947801017721392281911992365405516395893474263953824 8296090369002883593277458550608013179884071624465639979482757836501955142 2155133928197822698427863839167971509126241054872570092407004548848569295 0448110738087996547481568913935380943474556972128919827177020766613602489 5814681191336141212587838955773571949863172108443989014239484966592517313 8817160266326193106536653504147307080441493916936326237376777709585031325 5990095762731957308648042467701212327020533742667053142448208168130306397 3787366424836725398374876909806021827857862165127385635132901489035098832 7061725893257536399397905572917516009761545904477169226580631511102803843 6017374742152476085152099016158582312571590733421736576267142390478279587 2815050956330928026684589376496497702329736413190609827406335310897924642 4213458374090116939196425045912881340349881063540088759682005440836438651 6617880557608956896727531538081942077332597917278437625661184319891025007 4918290864751497940031607038455494653859460274524474668123146879434416109 9333890899263841184742525704457251745932573898956518571657596148126602031 0797628254165590506042479114016957900338356574869252800743025623419498286 4679144763227740055294609039401775363356554719310001754300475047191448998 4104001586794617924161001645471655133707407395026044276953855383439755054 8871099785205401175169747581344926079433689543783221172450687344231989878 8441285420647428097356258070669831069799352606933921356858813912148073547 2846322778490808700246777630360555123238665629517885371967303463470122293 9581606792509153217489030840886516061119011498443412350124646928028805996 1342835118847154497712784733617662850621697787177438243625657117794500644 7771837022199910669502165675764404499794076503799995484500271066598781360 3802314126836905783190460792765297277694043613023051787080546511542469395 2651271010529270703066730244471259739399505146284047674313637399782591845 4117641332790646063658415292701903027601733947486696034869497654175242930 6040727005059039503148522921392575594845078867977925253931765156416197168 4435243697944473559642606333910551268260615957262170366985064732812667245 2198906054988028078288142979633669674412480598219214633956574572210229867

2498812881929373434768626892192397778339107331065882568137771723283153290 8252509273304785072497713944833389255208117560845296659055394096556854170 6001179857293813998258319293679100391844099286575605993598910002969864460 9747147184701015312837626311467742091455740418159088000649432378558393085 3082830547607679952435739163122188605754967383224319565065546085288120190 2363644712703748634421727257879503428486312944916318475347531435041392096 1087960577309872013524840750576371992536504709085825139368634638633680428 9176710760211115982887553994012007601394703366179371539630613986365549221 3741597905119083588290097656647300733879314678913181465109316761575821351 4248604422924453041131606527009743300884990346754055186406773426035834096 0860553374736276093565885310976099423834738222208729246449768456057956251 6765574088410321731345627735856052358236389532038534024842273371639123973 2159954408284216666360232965456947035771848734420342277066538373875061692 1276801576618109542009770836360436111059240911788954033802142652394892968 6439808926114635414571535194342850721353453018315875628275733898268898523 5577992957276452293915674775666760510878876484534936360682780505646228135 9888587925994094644604170520447004631513797543173718775603981596264750141 0906658866162180038266989961965580587208639721176995219466789857011798332 4406018115756580742841829106151939176300591943144346051540477105700543390 0018245311773371895585760360718286050635647997900413976180895536366960316 2193113250223851791672055180659263518036251214575926238369348222665895576 9946604919381124866090997981285718234940066155521961122072030922776462009 9931524427358948871057662389469388944649509396033045434084210246240104872 3328750081749179875543879387381439894238011762700837196053094383940063756 1164585609431295175977139353960743227924892212670458081833137641658182695 6210587289244774003594700926866265965142205063007859200248829186083974373 2353849083964326147000532423540647042089499210250404726781059083644007466 3800208701266642094571817029467522785400745085523777208905816839184465928 2941701828823301497155423523591177481862859296760504820386434310877956289 2925405638946621948268711042828163893975711757786915430165058602965217459 5819888786804081103284327398671986213062055598552660364050462821523061545 9447448990883908199973874745296981077620148713400012253552224669540931521 3115337915798026979555710508507473874750758068765376445782524432638046143 0428892359348529610582693821034980004052484070844035611678171705128133788 0570564345061611933042444079826037795119854869455915205196009304127100727 7849301555038895360338261929343797081874320949914159593396368110627557295 2780042548630600545238391510689989135788200194117865356821491185282078521 3012551851849371150342215954224451190020739353962740020811046553020793286 7254740543652717595893500716336076321614725815407642053020045340183572338 2926619153083540951202263291650544261236191970516138393573266937601569144 2994494374485680977569630312958871916112929468188493633864739274760122696 4158848900965717086160598147204467428664208765334799858222090619802173211 6142304194777549907387385679411898246609130916917722742072333676350326783 4058630193019324299639720444517928812285447821195353089891012534297552472 7635730226281382091807439748671453590778633530160821559911314144205091447 2935350222308171936635093468658586563148555758624478186201087118897606529 6989926932817870557643514338206014107732926106343152533718224338526352021 7735440715281898137698755157574546939727150488469793619500477720970561793

0521560620615571329915608489206434030339526226345145428367869828807425142 2567451806184149564686111635404971897682154227722479474033571527436819409 8920501136534001238467142965518673441537416150425632567134302476551252192 1803578016924032669954174608759240920700466934039651017813485783569444076 0470232540755557764728450751826890418293966113310160131119077398632462778 2190236506603740416067249624901374332172464540974129955705291424382080760 9836482346597388669134991978401310801558134397919485283043673901248208244 4814128095443773898320059864909159505322857914576884962578665885999179867 5205545580990045564611787552493701245532171701942828846174027366499784755 0829422802023290122163010230977215156944642790980219082668986883426307160 9207914085197695235553488657743425277531197247430873043619511396119080030 2558783876442060850447306312992778889427291897271698905759252446796601897 0748296094919064876469370275077386643239191904225429023531892337729316673 6086996228032557185308919284403805071030064776847863243191000223929785255 3723755662136447400967605394398382357646069924652600890906241059042154539 2790441152958034533450025624410100635953003959886446616959562635187806068 8513723462707997327233134693971456285542615467650632465676620279245208581 3477176085216913409465203076733918411475041401689241213198268815686645614 8538028753933116023229255561894104299533564009578649534093511526645402441 8775949316930560448686420862757201172319526405023099774567647838488973464 3172159806267876718380052476968840849891850861490034324034767426862459523 9589035858213500645099817824463608731775437885967767291952611121385919472 5451400301180503437875277664402762618941017576872680428176623860680477885 2428874302591452470739505465251353394595987896197789110418902929438185672 0507096460626354173294464957661265195349570186001541262396228641389779673 3329070567376962156498184506842263690367849555970026079867996261019039331 2637685569687670292953711625280055431007864087289392257145124811357786276 6490242516199027747109033593330930494838059785662884478744146984149906712 3764789582263294904679812089984857163571087831191848630254501620929805829 2083348136384054217200561219893536693713367333924644161252231969434712064 1737549121635700857369439730597970971972666664226743111776217640306868131 0351899112271339724036887000996862922546465006385288620393800504778276912 8356033725482557939129852515068299691077542576474883253414121328006267170 9400909822352965795799780301828242849022147074811112401860761341515038756 9830918652780658896682362523937845272634530420418802508442363190383318384 5505223679923577529291069250432614469501098610888999146585518818735825281 6430252093928525807796973762084563748211443398816271003170315133440230952 6351929588680690821355853680161000213740851154484912685841268695899174149 1338205784928006982551957402018181056412972508360703568510553317878408290 0004155251186577945396331753853209214972052660783126028196116485809868458 7525129997404092797683176639914655386108937587952214971731728131517932904 4311218158710235187407572221001237687219447472093493123241070650806185623 7252673254073332487575448296757345001932190219911996079798937338367324257 6103938985349278777473980508080015544764061053522202325409443567718794565 4304067358964910176107759483645408234861302547184764851895758366743997915 0851285802060782055446299172320202822291488695939972997429747115537185892 4238493855858595407438104882624648788053304271463011941589896328792678327 3224561038521970111304665871005000832851773117764897352309266612345888731

5814756190881398752357812331342279866503522725367171230756861045004548970 3600795698276263923441071465848957802414081584052295369374997106655948944 5924628661996355635065262340533943914211127181069105229002465742360413009 3691889255865784668461215679554256605416005071276641766056874274200329577 1606434486062012398216982717231978268166282499387149954491373020518436690 7672357740005393266262276032365975171892590180110429038427418550789488743 8832703063283279963007200698012244365116394086922220745320244624121155804 3545420642151215850568961573564143130688834431852808539759277344336553841 8834030351782294625370201578215737326552318576355409895403323638231921989 2171177449469403678296185920803403867575834111518824177439145077366384071 8804893582568685420116450313576333555094403192367203486510105610498727264 7213198654343545040913185951314518127643731043897250700498198705217627249 4065214619959232142314439776546708351714749367986186552791715824080651063 7995001842959387991583501715807598837849622573985121298103263793762183224 5659423668537679911314010804313973233544909082491049914332584329882103398 4698141715756010829706583065211347076803680695322971990599904451209087275 7762253510409023928887794246304832803191327104954785991801969678353214644 4118926063152661816744319355081708187547705080265402529410921826485821385 7526688155584113198560022135158887210365696087515063187533002942118682221 8937755460272272912905042922597877106678738400006167721546384412923711935 2182849982435092089180168557279815642185819119749098573057033266764646072 8757430565372602768982373259745084479649545648030771598153955827779139373 6017174229960273531027687194494449179397851446315973144353518504914139415 5732938204854212350817391254974981930871439661513294204591938010623142177 4199184060180347949887691051557905554806953878540066453375981862846419905 2204528033062636956264909108276271159038569950512465299960628554438383303 2763859980079292284665950355121124528408751622906026201185777531374794936 2055496401073001348853150735487353905602908933526400713274732621960311773 4339436733857591245081493357369116645412817881714540230547506671365182582 8489809951213919399563324133655677709800308191027204099714868741813466700 6094051021462690280449159646545330107754695413088714165312544813061192407 8211886900560277818242350226961893443525476335735364856193632544177566139 8170393063287216690572225974520919291726219984440964615826945638023950283 7121686446561785235565164127712826918688615572716201474934052276946595712 1983149433816221140069363074304441732847861017777438379770372317952554341 0722344551255558999864618387676490397246116795901810003509892864120419516 3551108763204267612979826529425882951141275841262732790798807559751851576 8412647422094797218433093529726652100156625145529947451276315509176367302 5946213293019040283795424632325855030109670692272022707486341900543830265 0681214142135057154175057508639907673946335146209082888934938376439399256 9006040673114220933121959362029829723511632593867722414779116295727807523 9505625158160313335938231150051862689053065836812998810866326327198061127 1548858798093487912913707498230575929091862939195014721197586067270092547 7180257503377307993971345395326461952699965963856549175904583335857991020 1271320458390320085387888163363768518208372788513117522776960978796214237 2162545214591281831798216044111311671406914827170981015457781939202311563 8719508050246797257924976057726259133285597263712112019057207714091486450 7409492671803581515757151405039761096384675556929897038354731410022380258

8706323155158650328981642282882327468661065927321979071623846421534898524 7621678905026099804526648392954235728734397768049577409144953839157556548 5459058976495198513801007958010783759945775299196700547602252552034453988 7125387801719607181640781248478472579124078245443616823452395706895142722 6975043187363326301110305342333582160933319121880660826834142891041517324 7216053355849993224548730778822905252324234861531520976938461042582849714 9634753418375620030149157032796853018686315724884015266398356895636346574 3532178349319982554211730846774529708583950761645822963032442432823773745 0517028560698067889521768198156710781633405266759539424926280756968326107 4953233905362230908070814559198373553777487420290390181429373115293346444 6815121294509759653430628421531944572711861490001765055817709530246887526 3250119705209476159416768727784472000192789137251841622857783792284439084 3011811214963664246590336341945406571835447719124466212593926566203068885 2005559912123536371822692253178145879259375044144893398160865790087616502 4635197045828895481793756681046474614105142498870252139936870509372305447 7341126413548928068410591077166778212383328102621855877513127211793444482 0144042574508306394473836379390628300897330624138061458941422769474793166 5717623182472168350678076487573420491557628217583972975134478990696589532 5489403356156131674032764724692125057591162515296545685446334981143176702 5729566184477548746937846423373723898192066204851189437886822480727935202 2501796545343757274163910791972952950812942922205347717304184477915673991 7384183117103625243957161527146690058147000026330104526435478659032907332 0546833887207873544476264792529769017091200787418373673508771337697768349 6344252419949951388315074877537433849458259765560996555954318040920178497 1846854973706962120885243770138537576814166327224126344239821529416453780 0049250726276515078908507126599703670872669276430837722968598516912230503 7462744310852934305273078865283977335246017463527703205938179125396915621 0636376258829375713738407544064689647831007045806134467312715911946084359 3582598778283526653115106504162329532904777217408355934972375855213804830 5090009646676088301540612824308740645594431853413755220166305812111033453 1207450868243394321590435944303124312274713858420303901060709403152355561 7276799416002039397509989762933532585557562480899669182986422267750236019 3257974726742578211119734709402357457222271212526852384295874273501563660 0931880454933389897415714905441825597380808715652814301026704602843168192 3039253529779576586241439270154974087927313105163611913757700892956482332 3648298263024607975875767745377160102490804624301856524161756655600160859 1215345562676021926899828553778725831451440826545834844094784631787773747 9465358016996077940556870119232860804113090462935087182712593466871276669 4873899824598527786499569165464029458935064964335809824765965165142090986 7552038083092032304873427034682887516040715466538346196112230137594515792 5269674364253192739003603860823645076269882749761872357547676288995075211 4804852527950845033958570838130476937881321123674281319487950228066320170 0224603319896719706491637411758548518784840120548446725888514015627250198 2171906696081262778548596481836962141072171421498636191877475450965030895 7099470934337856981674465828267911940611956037845397855839240761276344105 7667510243075598145527861678159496570625597550743065210853015979080733437 3607943286675789053348366955548680391343372015649883422089339997164147974 6938696905480089193067138057171505857307148815649920714086758259602876056

1937394525926266861355294062478136120620263649819999949840514386828525895 6342264328707663299304891723400725471764188685351372332667877921738347541 4800228033929973579361524127558295692768372312347989894462743304545667900 6203242051639628258844308543830720149567210646053323853720314324211260742 4485845094580494081820927639140008540422023556260218564348994145439950410 9805918179488826280520664410863190016885681551692294862030107388971810077 0929059048074909242714101893354281842999598816966099383696164438152887721 4085268088757488293258735809905670755817017949161906114001908553744882726 2009366856044755965574764856740081773817033073803054769736097865438593821 8722058390234444350886749986650604064587434600533182743629617786251808189 3144363251205107094690813586440519229512932450078833398788429339342435126 3433652043858129128343452973086529097833006712617981303167943855357262969 9874035957045845223085639009891317947594875212639707837594486113945196028 6751210561638976008880092746115860800207803341591451797073036835196977766 0763737853330120241201120469886092093390853657732223924124490515327809509 5586645947763448226998607481329730263097502881210351772312446509534965369 3090018637764094094349837313251321862080214809922685502948454661814715557 4447096695301776904342720318927706047177845279391604722815343798035396798 6142437095668322149146543801459382927739339603275404800955223181666738035 7183932757077142046723838624617803976292377131209580789363841447929802588 0655221292620936239306373134966401866195108115834711733120258058667276399 9276357907806381881306915636627412543125958993611964762610140556350339952 3140323113819656236327198961837254845333702062563464223952766943568376761 3687119629218187545760816170530315907288287007123136663087227549186613957 7373054606599743781098764980241401124214277366808275139095931340415582626 6789510846776118665957660165998178089414985754976284387856100263796543178 3136340251358141611519020964991335487331311150227006819301359295959716401 9719605362503355847998096348871803911161281359596856547886832585643789617 3159762002419621552896297904819822199462269487137462444729093456470028537 6949588595916067892824910544125159963007813683674902093749157328962700286 5682934443134234735123929825916673950342599586897069726733258273590312128 8746660451461487850346142827765991608090398652575717263081833494441820193 5333850712923457743755793440621787113300631060033240539916936826037461766 3856575887758020122936635327026710068126182517291460820254189288593524449 1070138206211553827793565296914576502048643282865557934707209634807372692 1411868954673227677513356901901537236690368653891612916888878764075254934 9424973342718117889275993159671935475898809792452526236365903632007085444 0784544797348291802082044926670634420437555325050527522833778887040804033 5319234076856301093477721256390886404131010738178533383160381352808281190 4083256440184205374679299262203769871801806112262449090924264198582086175 1177113789051609140381575003366424156095216328197122335023167422600567941 2814062172196418427057843289598028823350598282081966662490358577899403331 5227481777695284368163008853176969478369058067106482808359804669884109813 5158654906933319522394363287923990534810987830274500172065433699066117784 5543646877236318444647680691428280045510746866453928053994091087549391660 9573161971503316696830992946634914279878084225722069714887558063748030886 2995118473187124777291910070227588893486939456289515802965372150409603107 7612898312635899648934102470360366450586872875890514068412381242473863854

3133618622410913869500688835898962349276317316478340077460886655598733382 1138299287769114954921841920877716060684728746736818861675072210172611038 3067178785669481294878504894306308616994879870316051588410828235127415353 8513365895332948629494495061868514779105804696039069372662670386512905201 1378108586161888869479576074135855345851517680519733344334952301203957707 3962377131603024288720053732099825300897761897312981788194467173116064723 1476248457551928732782825127182446807824215216469567819294098238926284943 7602488522790036202193866964822156280936053731780408637272684266964219299 4681921490870170753336109479138180406328738759384826953558307739576144799 7270003472880182785281389503217986345216111066608839314053226944905455527 8678944175792024400214507801920998044613825478058580484424164047750315360 5490659143007815837243012313751156228401583864427089071828481675752712384 6782459534334449622010096071051370608461801187543120725491334994247617115 6333214089346091565615506003173842187015702261031019166038870646614388977 3631878094071152752817468957640158104701696524755774089164456867771715850 0583269943401677202156767724068128366565264122982439465133197359199709403 2759385026695574702318132032437164205861410336065245369391600506449530601 6126782264894243739716671766123104897503188573216555498834212180284691252 9086101485527815277625623750456375769497734336846015607727035509629049392 4870884062810679436224187047470083688426710225583024035998416459511224852 7263363264511401739524808619463584078375355688562231711552094722306543709 2606797351000565549381224575483728545711797393615756167641692895805257297 5223385586113883221711073622658162188424431788574887981090266537934266642 1699091405653643224930133486798815488662866505234699723557473842483059042 3677143278792316422403877764330192600192284778313837632536121025336935812 6240868666997382759773656822279072158324788886423693463961643633087301398 1421143030600873066616480367898409133592629340230432497492688783164360268 1011309570716141912830686577323532639653677390317661361315965553584999398 6005651559219367599777179330197446881483711032065036931928945214026509154 6518430993655349333718342529843367991593941746622390038952767381333061774 7629574943868716978453767219493506590875711917720875477107189937960894774 5126547575018711948707387367858902006173733210756933022163206284320656711 9209695058576117396163232621770894542621460985841023781321581772760222273 8133495410481003073275107799948991977963883530734443457532975914263768405 4422647842160631227696469671564739990437159033239065607266441164386054048 3884716191210900870101913072607104411414324197679682854788552477947648180 2959736049439700479596040292746299203572099761950140348315380947714601056 3334469988208221205872815107291829712119178764248803546723169165418522567 2923442918712816323259696541354858957713320833991128877591722611527337901 0341362085614577992398778325083550730199818459025958355989260553299673770 4917224549353296833000022301815172265757875240588322490858212800897479093 2610076257877042865600699617621217684547899644070506624171021332748679623 7430229155358200780141165348065647488230615003392068983794766255036549822 8053296628621179306284301704924023019857199789488368971830438051821744191 4766042975243725168343541121703863137941142209529588579806015293875275379 9030938871683572095760715221900279379292786303637268765822681241993384808 1660216037221547101430073775377926990695871212892880190520316012858618254 9441335382078488346531163265040764242839087012101519423196165226842200371

8835737812109351797756044256346949997872511254408545222748109148743072598 6960204027594117894258128188215995235965897918114407765335432175759525553 6158128001163846720319346507296807990793963714961774312119402021297573125 1652537680173591015573381537720019524445436200718484756634154074423286210 6099761324348754884743453966598133871746609302053507027195298394327142537 1155766600025784423031073429551533945060486222764966687624079324353192992 6392537310768921353525723210808898193391686682789482811704726245019484097 0097576092098372409007471797334078814182519584259809624174761013825264395 5135259311885045636264188300338539652435997416931322894719878308427600401 3680747039040972384739458348961865397905941185993103561684368692194853820 5578039577388136067954990008512325944252972448666676683464140218991594456 5309423440650667851948417766779470472041958822043295380326310537494883122 1803912796784461001397267538921951191178365876625280836900532490045974109 4706877291232821430463533728351995364827432583311914445901780960778288358 3730111857543659958982724531925310588115026307542571493943024453931870179 9236081666113054262539958338979429716020703387678150330102801200959972522 2228080142357109476035192554443492998676781789104555906301595380976187592 0358937341978962358931125983902598310267193304189215109689156225069659119 8283234555030590817307351955037216658702880539921385760370353771051780212 8012956684198414036287272562321442875430221090947272107347413497551419073 7043318276626177275996888826027225247133683353452816692779591328861381766 3498577289369009657495622871030243625907724122190943008717556926257580657 0991201665962243608024287002454736203639484125595488172727247365346778364 7201918303998717627037515724649922289467932322693619177641614618795613956 6995677830682903165896994307673335082349907906241002025061340573443006957 4547468217569044165154063658468046369262127421107539904218871612761778701 4258864825775223889184599523376292377915585744549477361295525952226578636 4621183775984737003479714082069941455807190802135907322692331008317595106 5901912129479540860364075735875020589020870457967000705526250581142066390 7459215273309406823649441590891009220296680523325266198911311842016291631 0768940847235643668081821686572196882683584027855007828040434537101836510 9695178233574303050485265373807353107418591770561039739506264035544227515 6101107261779370634723804990666922161971194259120445084641746383589938239 9465173955090008594799901360266742614942900664671150671754221770387745076 7356374215478290591101261915755587023895700140511782264698994491790830179 5475876760168094100135837613578591356924455647764464178667115391951357696 1048649224900834467154863830544779143300976804868783481846727337584368927 2431044740680768527862558516509208826381323362314873333671476452045087662 7614950389949504809560460989604329123358348859990294526400284994280878624 0398118148847673012167541611066299955536681931232874257020637383520200868 6369131173346973174121915363324674532563087134730279217495622701468732586 7891734558379964351358800959350877556356248810493852999007675135513527792 4124292774885658885665132473025147102105753525165118148509027504768455182 5209633189906852761443513821366215236889057878669943228881602837748203550 6016029894009119713850179871683633744139275973644017007014763706655703504 3381211135764150184518214136198234951596010647527125759351853043328755377 8305750956742544268471221961870917856078393614451138333564910325640573389 8667178123972237519316430617013859539474367843392670986712452211189690840

7944060549772170594282151488616567277124090338772774562909711013488518437 4118695655449745736845218066982911045058004299887953899027804383596282409 4218605562877884288021275538848037286400194416142574999042720095952046541 7059810498996750451193647117277222043610261407975080968697517660023718774 8348016120310234680567112644766123747627852190241202569943534716226660893 6752198331118135111465038548950251206557726361454736044268594980743969323 3129712737715734709971395229118265348515558713733662912024271430250376326 9501350911612952993785864681307226486008270881333538193703682598867893321 2383270532976258573827900978264605455985551318366888446282651337984916678 3940976135376625179825824966345877195012438404035914084920973375464247448 8176184070023569580177410177696925077814893386672557898564589851056891960 9243988415692806969833522402256345704973122452693541938370048431833571965 1662672157552419340193309901831930919658292096965624766768365964701959575 4739345514337413708761517323677204227385674279170698204549953095918872434 9395240944416789988463198455048523936629720797774528143994182567894577957 1255242682608994086331737153889626288962940211210888442737656862452761213 0371017300785135715404533041507959447776143597437803742436646973247138410 4921243141389035790924160364063140381498314819052517209371039640268089948 3257229795456404270175772290417323479607361878788991331830584306939482596 1318713816423467218730845133877219086975104942843769325024981656673816260 6159417682525099937416728839517440669325496534031014522253161890092353764 8637848288134420987004809622717122640748957193900291857330746010436072919 0945767994614929290427981687729426487729952858434647775386906950148984133 9245403941446802636254021186143170312511175776428299146445334089209769616 9909837265236176874560589470496817013697490952307208268288789073019001825 3425805343421705928713931737993142410852647390948284596418093614138475831 1361305761084623668372376959134926158245162215521348792441450417568480641 2063652017038633012953277769902311864802006755690568229501635493199230591 4246396217025329747573114094220180199368035026495636955866425906762685687 3721103391567938398957655651931778830002416135395624377778408017488193730 9502069990089089932808839743036773659552489130015663329407790713961546453 4088791510300651321934486673248275907946807879819425019582622320395131252 0141099605312606965554042486705499867869230217469890095478507256729787947 6988883109348746442640071818316033165551153427615562240547447337804924621 4952133258527698847336269182649174338987824789278468918828054669982303689 9397834137475870258057163494135684339293960681920617733317917382085624364 3363535986349449689078106401967407443658366707158692452118299789380407713 7501290858646578905771426833582768978554717687184427726120509266486102051 5356428406323684818072879407171279668200607275595559040402331787494473464 5476062818954151213916291844429765106694796935401686601005519607768733539 6511614930937570968554559381513789569039251014953265628147011998326992200 0663928753747131352364215892651262040728877165783584052196460541054354436 4216656224456504299901025658692727914275293117208279393775132610605288123 5373451068372939893580871243869385934389175713376300720319760816604464683 9377258069092372975234867029169104263692620901996052041210240776481903160 1408586355842760953708655816427399534934654631450404019952853725200495780 5254656251154109252437991326262713609099402902262062836752132305065183934 0574501120993414649184333236465693717259144893241590062420206128857329261

2004310784601906565493806542525229161991819959602752327702249855738824899 8827074659363557685825605180689642853768507720122203479209939361792682065 9014216561592530673794456894907085326356819683186177226824991147261573203 5807646298116244013316737892788689229032593349861797021994981925739617673 0758344170985592221701718257127775344915082052784309046194608352174020058 3867284970941102326695392144546106621500641067474020700918991195137646690 4481267253691537162290791385403937560077835153374167747942100384002308951 8509945487790393461222208650601605003517762648316111533255877050735412792 4990985937347378708119425305512143697974991495186053592040383023571635272 7630874693219622190064260886183676103346002255477477813641012691906569686 4950126883762969072339612762872230411418136100602640440300359969889199458 2739762411461374480405969706257676472376606554161857469052722923822827518 6799156983390747671146103022776606020061246876477728819096791613354019881 4027579921741676787992316039635694928515136336472195406111717673873725557 2852294005436178517650230754469386930787349911035218253292972604455321079 7887711449898870911511237250604238753734841257086064069052058452122754533 8480082053024504565176695185769132000428167580549248117805198326460324457 9282973012910531838563682120621553128866856495651261389226136706409395333 4570526986959692350353094224543865278677673027540402702246384483553239914 7513634410440500923303612714960813554905315390210022995957565837053812619 6568314428605795669662215472169562087001372776853696084070483332513279311 2232507148630206951245395003735723346807094656483089209801534878705633491 0923660575540508641115214414814346304372732710450277686619531078583233348 5784029716092521532609255893265560067212435946425506599677177038844539618 1632879614460817789272171836908880126778207430106422524634807454300476492 8855534090621851536543554741254761527697726677697727770583158014121856880 1170502836527554321480348800444297999806215790456416195721278450892848980 6426497427090579129069217807298769477975112447305991406050629946894280931 0342164166299356148281309988707452927160484336308184041264696379258430941 8544221635908457614607855856247381493142707826621518554160387020687698046 1747400808324343665382354555109449498431093494759944672673665352517662706 7721941831919771963780157021699336750837600571634546436717767233875886434 0564487156696432104128259564534984138841289042068204700761559691684303899 9348366793542549210328113363184722592305554383058206941675629992013373175 4891220372303490726810685344540359935618235763128377676406310131253352121 4199461186935083317658785204711236433122676512996417132521751355326186768 1942338790365468908001827135283584888444111761234101179918709236507184857 8562210211040097769944531217950224795780695065329659403839873699072407976 7904082679400761872954783596349279390457697366164340535979221928587057495 7481696694062334272619733518136626063735982575552496509807260123668283605 9283418558480269584137725589708837899429105498003311138846034019391661221 8669605849157148573356828614950001909759112521880039641976216355937574371 8011480559442298730418196808085647265713547612831629200449880315402105530 5970766663627493283089168809323592900817874119857383171926167288349184024 2972129043496552694272640255964146352591434840067586769035038232057293413 2981593533044446496829441367323442158380761694831219333119819061096142952 2015361702985751055943264614685054526849757648078080092213358113781977492 7176854507553832876887447459159373116247060109124460982942484128752022446

7938064416165312236002149187687694673984075171763075168498563592014868929 4310594020245796962292456664488196757629434953532638217161339575779076637 0764569570259738800438415805894336137106551859987600754924187211714889295 2217377211460811543449826654798725800566747240511220073834592715757277152 1858994694811794064446639943237004429114074721818022482583773601734668530 0744985564715420036123593397312914458591522887408719508708632218837288262 8228846318437172619033057771476515641438223067918473860391476831081413582 7575585364359772165002827780371342286968878734979509603110889919614338666 4068450697420787700280509367203387232629637856038653216432348815557557018 4690890746478791224363755566686780676105449550172607911429308312857612544 8194444947324481909379536900820638463167822506480953181040657025432760438 5703505922818919878065865412184299217273720955103242251079718077833042609 0867942734289557355592527238055114404380012390416877164451802264916816419 2740110645162243110170005669112173318942340054795968466980429801736257040 6733282129962153684881404102194463424646220745575643960452985313071409084 6084996537678037932018991408658146621753193376659701143306086250098295669 1763884605676297293146491149370462446935198403953444913514119366793330193 6617663652555149174982307987072280860859626112660504289296966535652516688 8855721122768027727437089173896397722575648905334010388559311256799915165 8902501648696142720700591605616615970245198905183296927893555030393468121 9761582183980483960562523091462638447386296039848924386187298507775928792 7220685548072104978176532862101874767668972488411395603494803767270363169 2100735083407386526168450748249644859742813493648037242611670426687083192 5040997615319076855770327421785010006441984124207396400139603601583810565 9284136845741191027364202741637234882145241013477165296031284086584197879 5111651152982781462037913985500639996032659124852530849369031313010079997 7191362230866011099929142871249388541612038020411340188887219693477904497 5274542880728035093058287544207551348166609278793535665212556201399882496 2847872621443236285367650259145046837763528258765213915648097214192967554 9384375582600253168536356731379262475878049445944183429172756988376226261 8463654527434976624111384513054814498363117897844897320767195087841586188 7969295581973325069995140260151167552975057543781024223895792578656212843 2731202200716730574069286869363930186765958251326499145950260917069347519 4089753574640168308117988464524736189560564794263580705625632811892696630 2647953595109712765913623318086692153578860781275991053717140220450618607 5374866306350591483916467656723205714516886170790984695932236724946737583 0996070425892204815507991327520885837811176852142693347869218952406226579 2104362034885292626798401395321645879115157905046057971083898337186403802 4417511347226472547010794793996953554669619726763255229914654933499663234 1859514503609803440922122067125676987234279407088570704742931733291885238 9672197135392449242617864118863779096281448691786946817759171715066911148 0020759432012061969637795103227089029566085562225452602610460736131368869 0092817210681986185537809820184711541636303262656992834241550236009780464 1710852553761272890533504550613568414377585442967797701466029438768722511 5363801191758154028120818255606485410787933598921064427244898618961629413 4180012951306836386092941000831366733721530083526962357371753307386533382 0484219030818644918409372394403340524490955455801640646076158101030176748 8475017661908692946098769201691202181688291040870709560951470416921147027

6013424245368249609877258131102473279856207212657249900346829388687230489 5562253204463602639854225258416464324271611419817802482595563544907219226 5838636626637508359443148776351561457107455280161596770484427141944351832 7569840755267792641126176525061596523545718795667317091331935876162825592 0783080185206890151504713340386100310055914817852110384754542933389188444 1205179439699701941126951195265649195941899754183932346474242907027188752 2353439367363366320030723274703740712398256202466265197409019976245205619 8557625760008708173083288344381831070054514493545885422678578551915372292 3795554943334101744201696000906964156127322977702212179518683763590822551 2881647002199234886404395915301846400471432118636062252701154112228380277 8538911098490201342741014121559769965438877197485376431158229838533123071 7511329619045590079380642766958190148426279912217929479873489018684716765 0382732855205908298452980625925035212845192592798659350613296194679625237 3972565584157853744567558998032405492186962888490332560851455344391660226 2577755129162007727968526293879375304541810807292858919897153817973434961 8723292761474785019261145041327487324297058340847111233374627461727462658 2415324271059322506255302314738759251724787322881491455915605036334575424 2337791603749525024930223514819613811625639114156103268449580725082734317 6594405409826976526934457986347970974312449827193311386387315963636121862 3497261409556079920628316999420072054811525353393946076850019909886553861 4334957816500899616490796781429011483876456821749140756237676184537751440 3147541120676016072646055685925779932207033733339891636950434669069482843 6629980037414527627716547623825546170883189810868806847853705536480469350 9588180253605297407935386765111950793732820831462689600710751755206144337 8411454995013643244632819334638905093654571450690086448344018042836339051 3578157273973334537284263372174065775771079830517555721036795976901889958 4941301959995730179012401939086813565855396619413717944876320798688003716 0730322054742357226689680188212342439188598416897227765219403249322731479 3669234004848976059037958094696041754279613782553781223947646147832926976 5451622902817011004378460387565441517394339600489153188175766505009516974 0241564477129365661425394936888423051740012992055685428985389794266995677 7027089146513736892206104415481662156804219838476730871787590279209175900 6952734566820265133731115180001814341209626016586298210766635233617740078 3778342370915264406305407180784335806107296110555002041513169637304684921 3356837265400307509829089364612047891114753037049893952833457824082817386 4413227100029683119402033234564208264732762338302946393789983758365545599 1934086623509096796113400486702712317652666371077872511186035403755448741 8693519733656621772359229396776463251562023487570113795712096237723431370 2120310049651521119760131764194082034373485128526029133349151250831198028 5017785571072537314913921570910513096505988599993156086365547740355189816 6733535880048214665099741433761182777723351910741217572841592580872591315 0746060256349037772633739144613770380213183474473011130326702969173350477 0163210661622783002726928336558401179141944780874825336071440329625228577 5009808599609040936312635621328162071453406104224112083010008587264252112 2624801426475194261843258533867538740547434910727100497542811594660171361 2259044015899160022982780179603519408004651353475269877760952783998436808 6908989197839693532179980139135442552717910225397010810632143048511378291 4985113819691430434975001899806816444121232733283071928243624067331965546

8489713972376040328212660253516693914082049947320486021627759791771234751 0975024030789357599377150950217516935558270725339118923340702238320775858 0213717477837877839101523413209848942345961369234049799827930414446316270 7214796117456975719681239291913740982925805561955207434243295982898980529 2333664154192563673806894942014712413405250722040617943552525552250087487 9008656831454283516775054229480327478304405643858159195266675828292970522 6127628711040134801787224801789684052407924360582742467443076721645270313 4513541676496689012747868010102951338626986497482121186290403376915685762 4069929637249309720162870720018983542369036414927023696193854737248032985 5045112089192879829874467864129159417531675602533435310626745254507114181 4832398806072971402347255207134907983989823552687239509093656678789923837 1257897624875599044322889538837731734894112275707141095979004791930104674 0750411435381782464630795989555638991884773781341347070246747362112048986 2269918885174562517325193413520381158633501239130544419100736284475675141 6105041097350585276204448919097890198431548528053398577784431393388399431 0444465669244550885946314081751220331390681596592510546858013133838152176 4182104334297888261196304431113887962587460902261309008499754303957712432 3061690626291940392143974027089477766370248815549932245882597902063125743 6910946393252806241642476868495455324938017639371615636847859823715902385 4212658406153672286071317026747401311452610637653833903159219434698176053 5838031061288785205154693363924108846763200956708971836749057816308515813 8161966882222047570437590614338040725853862083565176998426774523195824182 6836982701602374149383634966293515768540613973427464708996856181701605511 0488097155485911861718966802597354170542398513556001872033507906094642127 1143993196046527424050882225359773481519135438571253258540493946010865793 7980586201433660788252197178090258173708709164604527279771535099103407364 2502038638671822052287969445838765294795104866071739022932745542678566977 6865939923416834122274663015062155320502655341460995249356050854921756549 1348309589065361756938176374736441833789742297007035452066631709296075919 8962773242309025239744386101426309868773391388251868431650102796491149773 7582888913450341148865948670215492101084328080783428089417298008983297536 9406449699031253998639195816014689952208806622854084148642747862819755466 2927881462160717138188018084057208471586890683691939338186427845453795671 9272397972364651667592011057995663962598535512763558768140213409829016296 8734298507924718460568748283313812591619624761569028759010727331032991406 2386460833337863825792630239159000355760903247728133888733917809696660146 9615031754226751125993315529674213336300222964906480934582008181061802100 2276645804002782133367585730190113717546727630590443531313190360924890972 4642792845554991349000518029570708291905255678188991389962513866231938005 3611346224294610248954072404857123256628888931722116432947816190554868054 9434410340906807160880282279596869501336438142682521704728708630101373011 5523686141690837567574763723976318575703810944339056456446852418302814810 7998376918512127201935044041804604721626939445788377090105974693219720558 1140787759897720720096893822493032368305158626572811146379969831375179376 2321511125234973430524062210524423435373290565516340666950616589287821870 7756794176080712973781335187117931650033155523822487730653444179453415395 2024244497034101208740721881093882681675120422994049481794494727328947701 1157413944122845552182842492224065875268917227278060711675404697300803703

0729715536130275035561678177654422874421147298816148027052438068176535732 7557860250584708401320883793281600876908130049249147368251703538221961903 9014999523495387105997351143478292339499187936608692301375596368532373806 7035911442432685615121094042595826393016780171286692392832310576588517140 2021119695706479981403150563304514156441462316376380990440281625691757648 9142569714163598439317433270237812336938043012892626375382667795034169334 3236075002481757418087503884750949394548962097404854426356371649959499209 8088429479036366629752600324385635294584472894454716620929749549661687741 4120882130477022816116456044007236351581149729739218966737382647204722642 2212420165601502849713063327958143025160136948255670147809357908896571349 2615816134690180696508955631012121849180584792272069187169631633004485802 0102860657858591269974637661741463934159569539554203314628026518951167938 0745733157598460861737026878676029436777805002446733913324316698803540732 3238828184750105164133118953703648842269027047805274249060349208295475505 4003457160184072574536938145531175354210726557835615499874447480427323457 8800618731493415660463529797794550753593047956872093167245365472083816858 5560604380197703076424608348987610134570939487700294617579206195254925575 7109038525171488525265671045349813419803390641529876343695420256080277614 4219143189213939088345431317696851018401038444723489488695209819435319065 0655535461733581404554483788475252625394966586999205841765278012534103389 6469818642430034146791380619028059607854888010789705516946215228773090104 4674624979799926271209516847795684825833414022664772108433624375937416105 3673404195473896419789542533503630186140095153476696147625565187382329246 8547356935802896011536791787303553159378363082248615177770541577576561759 3585120166929431111388635821596676188303261041646517148469793854226216871 6140012237821377977413126897726671299202592201740877007695628347393220108 8159356286281928563571893384958850603853158179760679479840878360975960149 7334205727046035217906056476032855692762734951822032361441125841824262477 1201203577638889597431823282787131460805353357449429762179678903456816988 9553518504478325616380709476951699086247100019748809205009521943632378719 7648703392238115403634754886268459561597551937654101150140670012269274743 9388858994385973024541480106123590803627458528849356325158538438324249325 2666087588908318700709100237377106576985056433928854337658342596750653715 0053335144899082938877373520514593330496265314151413861244379358850709446 8804548697535817021290849078734780681436632332281941582734567135644317153 7967818058195852464840084032909981943781718177302317003989733050495387356 1162610239994332597801268934326055847102787649010709234438846340117355568 6590358524491937018104162620850429925869743581709813389404593447193749387 7624232409852832762266604942385129709453245586252103600829286649724174919 1419889661295580767709795947953060131191590117739431042090490794244488685 1308684449370590902600612064942574471035354765785924270813041061854621988 1830090634588187038755856274911587375421064667951346487586771543838018521 3482819158124625993351601989355951679689328522058247994210345127158771633 4522299541883968044883552975336128683722593539007920166694133909116875880 3988828869216002373257361588207163516271332810518187602104852180675526648 6739089009071951380586267351243122156916379022773287054108420378415256832 8871804698795251307326634027851905941733892035854039567703561132935448258 5628287610610698229721420961993509331312171187891078766872044548876089410

3691379377866494096404877784174833643268402628293240626008190808180439091 4556351936856063045089142289645219987798849347477729132797266027658401667 8901364905087411421268619698620441269652829810870454798615595453380212011 5564697997678573892018624359932677768945406050821883822790983362716712449 0026761178498264377033002081844590009717235204331994708242098771514449751 0170556430295428218196700092025156158441742059336581481349026931115170938 7226002645863056132560579256092733226557934628080568344392137368840565043 4307396574061017779370141424615493070741360805442100295600095663588977899 2676305177187819437067614982175641865901161608654086353915130392013168057 6903417259645369235080641744656235152392905040947995318407486215121056183 3854566176652606393713658802521666223576132201941701372664966073252010771 9479312652827633024138051649071745659648537483546691945235803153019691604 8099460681490403781982973236093008713576079862142542209641900436790547904 9930078372421581954535418371129368658430553842717628035279128821129308351 5756565999447417884383815651484342298587042455924346932952328218035083337 2628379183021659183618155421715744846577842013432998259456688455826617197 9012180849480332448787258183774805522268151011371745368417870280274452442 9054745182346749195641885512444213377835214238659799259882032870851093383 8682990657199461490629025742768603885051103263854454041918495886653854504 0571323629681069146814847869659166861842756798460041868762298055562963045 9532279230516167215919686758495236352989357885077460815373214546429847923 1051167635774949462295256949766035947396243099534331040499420967788382700 2714478494069037073249106444151696053256560586778757417472110827435774315 1940607579835636291433263978122189462874477981198072256467146640548501310 0965678631488009030374933887536418316513498254669467331611812336485439764 9325026179549357204305402182974871251107404011611405899911093062492312813 1163405492625713567218186289327861388337180285350565035919527414008695109 2616754147679266803210923746708721360627833292238641361959412133927803611 8276324106004740971111048140003623342714514483334641675466354699731494756 6434236594934968458845515241507563766050866328274247941360628760412906449 1382851945640264315322585862404314183866959063324506300039221319264762596 2691510904457695301444054618037857503036686212462278639752746667870121003 3929848733750144756003221006223580293437749550320370127384681630610265703 0087227546296679688089058712767636106622572235222973920644309352432722810 0859973095132528630601105497915644791845004618046762408928925680912930592 9606423570210615246462050232489665939873249339673769520239917608984745718 4353193664652912584806448019652016283879518949933675924148562613699594530 7287254532463291529110128763770605570609531377527751867923292134955245133 0898679691651290738413021675732386375758200803635757280027544903279530799 0079944254110872569318801466793559583467643286887696661009739574996783659 3397846346959948950610490383647409504695226063858046758073069912290474089 8791668721171475276447116044019527181695082897335371485309289370463844208 9329977112585684084660833993404568902678751600877546126798801546585652206 1210953490796707365539702576199431376639960606061106406959330828171876426 0435734253617569437848484952501082664883951597004905983808121052211110919 4332395113605144645983421079905808209371646452312770402316007213854372346 1267260997870385657091998507595634613248460188409850194287687902268734556 5005191215465440638292538512763176639220509383452043007730170299403626154

4912641164240093880746356607262336695842764583698268734815881961058571835 7674620096505260659292635482914990457683072108932458570737016607173981944 8502884260396366074603118478622583105658087087030556759586134170074540296 5687634774176431051751036732869245558582082372038601781739405175130437994 8688223200443780431031709210342616749980000730160948145863744887785222730 7633049538394434538277060876076354209844500830624763025357278103278346176 6970544287155315340016497076657195985041748199087201490875686037783591994 7193433527729472855379257876848323011018593658007172911869676176550537750 3029303383070644891281141202550615089641100762382457448865518258105814034 5320124754723269087547507078577659732542844459353044992070014538748948226 5564422236963655441942254413382122254774975354946248276805333369832841561 3869236344335855386847111143049824839899180316545863828935379913053522283 3430137953372954016257623228081138499491876144141322933767106563492528814 5282395062090223578766846501166600973827536604054469416534222390521083145 8584703552935221992827276057482126606529138553034554974455147034493948686 3429459658431024190785923680224560763936784166270518555178702904073557304 6206396924533077957822459497104201880430001838814290081730394505073427870 1312446686009277858181104091151172937487362788787490746528556543474888683 1064110051023020875107768918781525622735251550379532444857787277617001964 8537035551676552091193393437628662846198440262952521836785223674751088097 8150709897841308624588152266096355140187449583692691779904712072649490573 7264286005211403581231076006699518536124862746756375896225299116496066876 5082617341784847893372950567390078786179253514406210453662506404637288156 9823231750059626108092195521115085930295565496753886261297233991462835847 6048627627027309739202001432248707582337354915246085608210328882974183906 4788699232736913600488374366152235170584377055452108155133612621429118156 1530175888257359489250710887926212864139244330938379733386780613179523731 5266773820858024701433527009243803266951742119507670884326346442749127558 9077468635821621660427413151702124585860562336314931646469139465624974717 4195835421860774871105733845843368993964591374060338215935224359475162623 9188685307822821763983237306180204246560477527943104796189724299533029792 4974816840528937910449470045908649918727273454135081019838818646736093925 7193051196864560185578245021823106588943798652243205067737996619695547244 0585922417953006820451795370043472451762893566770508490213107736625751697 3355274623029430312035962609534235743972496592110106578178261087453188748 0318743082357369919515634095716270099244492974910548985151965866474014822 5106335367949737142510229341882585117371994499115097583746130105505064197 7215319293548753711916302620303285886585284801935092258757755974252765840 1172134232364808402714335636754204637518255252494432965704386138786590196 5738802868401894087672816714137033661732650120578653915780703088714261519 0750014925761129276751930967284539711602136063030905422439663206743235827 9788933232440577919927848463333977773765590187057480682867834796562414610 2899508487399692970750432753029972872297327934442988646412725348160603779 7072982991730292963086958019963124133049393504933254123550710544611825911 4111645453471032988104784406778013807713146540009938630648126661433085820 6811395838319169545558259426895769841428893743467084107946318932539106963 9557807060212459748982935646135607889834724199794785643620420946134123876 1319886535235831299686226894860840845665560687695450127448663140505473535

6571176174390203375848778429112896232470591918746910420058483261406773337 5102719565399469716251724831223063391932870798380074848572651612343493327 3356664473358556430235280883924348278760886164943289399166399210488307847 7770480457284914563033532650700295889062659154985094079727675671297950100 9822947622896189159144152003228387877348513097908101912926722710377889805 3964156362364169154985768408398468861684375407065121039062506128107663799 0479088796747780697384731704752534421563903872012388063236880370179493089 5490077633152306354837425681665336160664198003018828712376748189833024683 6371488309259283375902278942588060087286038859168849730693948020511221766 3591382515242786700944069423551202015683777788518246700256517085092496237 4772681369428435006293881442998790530105621737545918267997321773502936892 8065210025396268807498092643458011655715886700443503976505323478287327368 8408635400027406767838219635222265392909398073673913640828987220177767471 6811819585613372158311905468293608323697611345028175783020293484598292500 0895682630271263295866292147653142233351793093387951357095346377183684092 4444220963193312956203055755173400679737406141621079236334238056468500920 3716715264255637185388957141641977238742261059666739699717316816941543509 5283193556417705668622215217991151355639707143312893657553844648326201206 4243380169558626985610224606460693307938478588143674070005997697036490192 7332882613532936311240365069865216063898725026723808740339674439783025829 6894256896741864336134979475245526291426522842419243083388103580053787023 9995421721136865502753413622116931406946695131869281025747959856051450050 2171591331775160995786555198188619321128211070944228724044248115340605589 5958355815232012184605820563592699303478851132068626627588771446035996656 1084307256965005630644891875994665967728471715395736121081808415472731426 6174893313417463266235422207260014601270120693463952056444554329166298666 0783089068118790090815295063626782075614388815781351134695366303878412092 3469428687308393204323338727754968052103028215443247233888452153437272501 2858974769146080831440412586818154004918777228786980185345453700652665564 9170915429522756709222217474112062720656622989806032891672068743654948246 1086973672255474048128892424718543236057534116728507575520571311566979545 8488739874222813588798584078313506054829055148278529489112190538319562422 8719484759407859398047901094194070671764439032730712135887385049993638838 2055016834027774960702768448802819122206368886368110435695293006521955282 6152699127163727738841899328713056346468822739828876319864570983630891778 6487086676185485680047672552675414742851028145807403152992197814557756843 6811101853174981670164266478840902626828244482580275320945499151045185177 1654631180490456798571325752811791365627815811128881656228587603087597496 3849435275676612168959261485030785362045274507752950631012480341804584059 4329260798544356200937080918215239203717906781219922804960697382387433126 2673030679594396095495718957721791559730058869364684557667609245090608820 2212235719254536715191834872587423919410890444115959932760044506556206461 1646556654875942473692523369559930303550958176261762318495619064948396730 0203776387436934399982943020914707361894793269276244518656023955905370512 8978163455423320114975994896278424327483788032701418676952621180975006405 1497558896502930048676052080104915378854139094245316917199876289412772211 2946456829486028149318156024967788794981377721622935943781100444806079767 2429276249510784153446429150842764520002042769470698041775832209097020291

8794317119687348468873818665675127929857501636341131462753049901913564682 3804329970695770150789337728658035712790913767420805655493624646

,它在18世纪中期之后一般用希腊字母π指代,有时也拼写为“pi”。

因为是一个无理数,所以它不能用分数完全表示出来(即它的小数部分是一个无限不循环小数)。当然,它可以用像般的有理数的近似值表示。的数字序列被認為是随机分布的,有一种统计上特别的随机性,但至今未能证明。此外,π还是一个超越数——它不是任何有理数系数多项式。由於π的超越性质,因此不可能用尺规作图化圆为方的问题。

几个文明古国在很早就需要计算出的较精确的值以便于生产中的计算。公元5世纪时,南朝宋数学家祖冲之用几何方法将圆周率计算到小数点后7位数字。大约同一时间,印度的数学家也将圆周率计算到小数点后5位。历史上首个的精确无穷级数公式(即π的莱布尼茨公式)直到约1000年后才由印度数学家发现。[1][2]在20和21世纪,由于计算机技术的快速发展,借助计算机的计算使得π的精度急速提高。截至2015年,十进制精度已高达1013位。[3]当前人类计算π的值的主要目的是为打破记录、测试超级计算机的计算能力和高精度乘法算法,因为几乎所有的科学研究对π的精度要求都不会超过几百位。[4]:17[5]

因为π的定义中涉及圆,所以三角学几何学的许多公式,特别是在圆形、椭球形或球形相關公式中广泛应用。由于用於特征值这一特殊作用,它也在一些数学和科学领域(例如数论和统计中计算数据的几何形状)中出现,也在宇宙学,热力学,力学和电磁学中有所出现。的广泛应用使它成为科学界内外最广为人知的常数之一。人们已经出版了几本专门介绍π的书籍,圆周率日(3月14日)和值计算突破记录也往往会成为报纸的新闻头条。此外,背诵值的世界记录已经达到100,000位的精度。

基本知识

名称

数学家用小写希腊字母π表示圆周和其直径之比,有时也将其拼写为pi,這来自于希腊语“περίμετρος”(周长)的首字母。[6]在英语中,π的发音与英文单词“pie”(/p/西式馅饼)相同。[7]在数学中,的小写字母(或者是其无衬线体)要和表示连乘积的大写形式Π相区分开。

关于為何选择符号的原因,请参见π符号的引入一节。

定义

A diagram of a circle, with the width labeled as diameter, and the perimeter labeled as circumference
圆的周长略大于其直径的三倍长。 精确的比例称为π。

常用定义为周长直径的比值:[4]:8

.

无论圆的大小如何,比值为恒值。如果一个圆的直径变为原先的二倍,它的周长也将变为二倍,比值不变。当前的定义隐性地使用了欧几里得几何中的一些定理,虽然一个圆的定义可以扩展到任意曲面(即非欧几里得几何),但这些圆将不再符合定律[4]

这里,圆的周长指其圆周的弧长,弧长这一概念可以不依赖几何学————而是使用微积分学中的极限来定义。[8]例如,若想计算笛卡儿坐标系中单位圆上半部分的弧长,需要用到积分[9]

上述积分是由卡尔·魏尔斯特拉斯于1841年对的积分定义。[10]

这些依赖于周长,且隐性地依赖积分的π的定义,如今在文献中并不常见。雷默特(Remmert(1991))解释说这是因为在现代微积分教学中,大学一般将微分学课程安排在积分学课程之前,所以不依赖于后者的的定义就很有必要了。其中一种定义,由理查·巴爾策英语Richard Baltzer提出,[11]愛德蒙·蘭道推广,[12]其表述如下:是两倍于能使余弦函数等于零的最小正数。[4][9][13]余弦函数可以由独立于几何之外的幂级数[14]定义,或者使用微分方程的解来定义。[13]

在相似的启发下,可以用关于复变量复指数函数来定义。复指数类似余弦函数,可透過多种方式定义。令函数值为一的复数集合是一个如下所示的(虚)算数过程:

,

并且其中包括一个独特的正实数[9][15]

一个基于同样想法,但更为抽象的定义运用了精巧的拓扑学代数学概念,用以下定理描述:[16]存在一个唯一的从加法模数整数组成的实数群 R/Z 到绝对值为1的复数组成的乘法群的连续同态(拓扑学概念,指在拓扑空间之间的一种态射)。数字被定义为此同态派生的模的一半。[17]

在给定的周长的条件下,圆会围成最大的面积,因此的表述同樣为等周不等式中出现的常数(乘四分之一)。此外,在很多其他紧密相关的方程中,作为某些几何或者物理过程的特征值出现;详见下文

无理性及正规性

是个无理数,也就是说,无法表示成两个整数之比的形式(形如的分数常用来近似表达,但是没有任何普通分数(指整数的比)可以取到的精确值)。[4]:5由于是无理数,故可表示为无限不循环小数。有多种方法能证明π是无理数英语proof that π is irrational,这些证明也都要用到微积分学反证法。人们還無法準確得知可以用有理数来近似的程度(稱為無理性度量),不過估計其無理性度量比eln(2)的要大,但是小於刘维尔数的無理性度量[18]

人们通過統計隨機性英语statistical randomness检验,包括正规数的检验,验证了的位數沒有明顯的固定模式。因此,的小数中任意固定长度的序列(例如3位數字的000,001……999)出現機率都相同[19]。不過有關π正规数的猜想既無證明,亦無证伪[4]:22-23[19]

電腦的出現使得人们可以生成大量π的不同位数,并進行統計分析。金田康正針對π的十進制數字進行了詳細的統計分析,并验证了其分布的正规性:例如,將出現0到9十個數字的頻率進行假設檢定,找不到有特定重复规律的證據[4]:22, 28–30。根據無限猴子定理,任何任意長度,由隨機內容組成的子序列都有可能看起來像不隨機产生的。因此,就算π的小数序列通過了隨機性統計測試,其中也可能有幾位的數字看起來似有规律可循而非隨機数,例如π的十進制写法中,自第762位小數后开始出现了連續六個的9[4]:3

超越性

A diagram of a square and circle, both with identical area; the length of the side of the square is the square root of pi
由于π超越數,不能利用尺规作图化圓為方

不仅是个无理数,还是一个超越数,即不是任何一个有理数系数多项式。(比方说,试图通过解有限项方程,来求得的值。)[20][註 1]

的超越性衍生出了一些重要的结果:不能通过有理数经有限次四则运算和开平方运算来获得,因此不是规矩数。换言之,利用尺规作图作不出长度为的线段,也就不可能用尺规方法做出一个与已知圆面积相等的正方形。后者即为有名的化圓為方问题,该问题早在古典时代即已提出,曾困扰人们数千年之久[21][22]。直至今天,依然有民间数学爱好者声称他们解决了这一问题[23]

连分式

像所有的无理数一样,无法表示成一个分数。但是每一个无理数,包括,都能表示成一系列叫做连分数的连续分数形式:

在这个连分数的任意一点截断化简,都能得到一个π的近似值;前四个近似值是:3,。这些数在历史上是最广为人知且广為使用的几个近似值。用以上方式得出的的近似值要比任何有相同或更小的整数分母的其他整数分数近似值更接近π[24]由于是一个超越数,据超越数定义来说它不是代數數,又因此不可能是一个二次無理數;是故不能表示为循环连分数。尽管的简单连分数没有表现出任何其他明显规律,[25]数学家们發現了数个广义连分数能表示,例如:[26]

近似值

圆周率近似值包括:

  • 整數3
  • 分數(依准确度順序排列,选自A063674A063673):[24]
  • 小數:根据A000796,圓周率首50個小数位是3.14159265358979323846264338327950288419716939937510...[4]:240
  • 二进制:圆周率的二进制表示的首48位是11.001001000011111101101010100010001000010110100011...
  • 十六进制:圆周率的十六进制表示的首20位是3.243F6A8885A308D31319...[4]:242
  • 六十進制:圆周率的六十进制表示的首5位是3;8,29,44,0,47[27]

复数与欧拉恒等式

在复平面上以原点为圆心的单位圆内,一条射线从圆心出发至圆的边上,以此射线与圆的边的交点作与x轴的垂线并标注了夹角.mw-parser-output .serif{font-family:Times,serif}φ和.mw-parser-output .serif{font-family:Times,serif}sinφ、.mw-parser-output .serif{font-family:Times,serif}cosφ函数
欧拉公式给出了e的复指数与复平面上以原點为圆心的单位圆上的之间的关系。

任何复数(以为例)都可以表示为一组实数对:在极坐标系中,一个实数用来表示半径,代表复平面上复数离原點的距离;另一个实数则用来表示夹角,即这条半径(复平面上复数与原点的连线)与正实轴经顺时针转动的夹角。这样一来,就可写成[28]

,这里代表一个虛數單位,即

复分析中,欧拉公式三角函数与复指数函数糅合在一起[29]

,这里数学常数e自然對數的底数。

欧拉公式确立了的复指数与复平面上以原点为圆心的单位圆上的点之间的关系,而且当时,欧拉公式就能改写为歐拉恆等式的形式:

。此等式亦稱“最奇妙的数学公式”,因其把5个最基本的数学常数简洁地串了起来[29][30]

欧拉等式亦可用于求出方程个不同的复数根(这些根叫做单位根[31]),可以根据以下公式求得:

谱特征

震盪弦的泛音是二次微分的本徵函數,會形成泛音列。對應的本徵值會形成由π整數倍組成的等差数列

经常出现在和几何相关的问题之中。然而,在不少和几何无关的问题中也可以看到的身影。

在許多的應用中都會以特征值的形式出現。例如理想的振動弦英语vibrating string問題可以建模為函數在單位區間的圖形,固定邊界值。弦振動的模態會是微分方程,此處λ是相關的特徵值。受施图姆-刘维尔理论限制,只能是一些特定的數值。而即為一個特征值,因為函數滿足邊界條件及微分方程[32]

依照第一代开尔文男爵威廉·汤姆森所述的一個傳說,古迦太基城的外形是等周長問題的一個解(Thompson 1894)。這些包圍著海的區域是迦太基女王狄多所圍的,城不靠海的邊界需要用一塊指定大小的牛皮圍住,後來是將牛皮剪成小段

是上述方程中最小的特征值,也和弦振動的基本模式英语fundamental mode有關。一個讓弦振動的方式是提供弦能量,能量會滿足一個不等式,維爾丁格函數不等式英语Wirtinger's inequality for functions[33],其中提到若函數使得,且都是平方可積函數,則以下的不等式成立:

此例中等號成立的條件恰好是倍數的時候。因此似乎是維爾丁格不等式的最佳常數,因此也是最小的特征值(根據雷利商數英语Rayleigh quotient的計算方式)

在更高維度的分析中也有類似的角色,出現在其他類似問題的特徵值中。就如以上所述的一個特點是等周定理中的最佳常數:周長為的平面若尔当曲线,所圍面積滿足以下的不等式

等號成立的條件是曲线為一圓形,因為.[34]

圓周率也和庞加莱不等式的最佳常數有關[35]是一維及二維的狄氏能量英语Dirichlet energy特征向量最佳值中,最小的一個,因此會出現在許多經典的物理現象中,例如經典的位势论[36][37][38]。其一維的情形即為Wirtinger不等式 。

圓周率π也是傅里叶变换的一個重要常數,傅里叶变换屬於积分变换,將一個在實數線上的一個有複數值,可積分的函數,轉換為以下的型式:

傅里叶变换有幾種不同的寫法,但不論怎麼寫,傅里叶变换及反傅里叶变换中,一定會有某處出現。不過上述的定義是最經典的,因為其描述了L2空間中唯一的幺正算符,也是空間到空間的代數同態[39]

不确定性原理中也有出現這個數字。不确定性原理提出了可以將一個函數在空間及在頻域中局部化程度的下限,利用傅立葉轉換的方式表示:

物理的結果,有關量子力学中同時觀測位置及動量的不確定性,見下文。傅立葉分析中π的出現是史東–馮紐曼定理英语Stone–von Neumann theorem的結果,證實了海森伯群薛定諤表示英语Schrödinger representation的唯一性[40]

高斯积分

高斯函数的图像,函数下方与X轴围成的阴影部分面积为

高斯积分是对高斯函数在整条实轴上的积分,即函数下方与X轴围成的面积,其结果为

此积分的计算可以先计算对整条实轴的积分的平方,通过转换笛卡尔坐标系极坐标系从而求得

其他计算方法可参阅高斯积分。高斯函数更一般的形式为,求一般形式的高斯积分均可通过换元积分法转化为求的积分。

另外,当高斯函数为以下形式时,它则是平均数標準差正态分布機率密度函數[41]

因为这个函数是一个概率密度函数,函数下方与X轴围成的面积必须为1,令即可变换得出概率论统计学领域经常使用正态分布来作为复杂现象的简单模型:例如科学家通常假设大多数试验观测值的随机误差都是服从正态分布[42]

由一维布朗运动的反正弦定律,可以通过试验正信号相对于负信号领先权过零点的分布反过来推算π

概率论与统计学中的中心极限定理解释了正态分布以及的核心作用,这个定理本质上是联系着谱特征海森堡不确定性原理相关的特征值,并且在不确定性原理中有

这里的分別為位置與動量的標準差約化普朗克常数,而不等式的等号当且仅当粒子的波函数为高斯函数使成立[43]

同样地,作为唯一独特的常数使得高斯函数等于其自身的傅里叶变换,此时的高斯函数形式为[44]。根据豪(Howe)的说法,建立傅里叶分析基本定理的“全部工作(whole business)”简化为高斯积分。

历史

远古时期

圓周率在远古时期(公元前一千纪)已估算至前两位(“3”和“1”)。有些埃及學家聲稱,遠至古王國時期時期的古埃及人已經用作為圓周率的約數[45][註 2],但這個說法受到了質疑。[47][48][49][50]

最早有記載的对圓周率估值在古埃及巴比伦出现,兩個估值都与圆周率的正确数值相差不到百分之一。巴比伦曾出土一塊公元前1900至1600年的泥板英语Clay tablet,泥板上的幾何學陳述暗示了人们当时把圓周率視同(等於3.125)。[4]:167埃及的莱因德数学纸草书(鉴定撰寫年份為公元前1650年,但抄自一份公元前1850年的文本)載有用作計算圓面積的公式,该公式中圓周率等于(約等於3.1605)。[4]:167

公元前4世紀的《百道梵書英语Shatapatha Brahmana》中的天文學運算把(約等於3.139,精确到99.91%)用作圓周率估值[51]。公元前150年前的其他印度文獻把圓周率視為(約等於3.1622)[4]:169

割圆时代

圖中有圓的外切五邊形、內接五邊形、外切六邊形及內接六邊形
π可以透過計算圓的外切多邊形及內接多邊形周長來估算

第一個有紀錄、嚴謹計算π數值的演算法是透過正多邊形的幾何算法,是在西元前250年由希臘數學家阿基米德所發明。[4]:170這個算法使用了有一千年之久,因而有時π亦稱阿基米德常數。[4]:175、205阿基米德的算法是在計算圓的外切正六邊形及內接正六邊形的邊長,以此計算的上限及下限,之後再將六邊形變成十二邊形,繼續計算邊長……,一直計算到正96邊形為止。他根據多邊形的邊長證明(也就是[52]。阿基米德得到的上限也造成一個常見誤解,認為就等於[4]:171。在公元前150年,希臘羅馬的科學家克劳狄乌斯·托勒密在《天文学大成》一書中提到π的數值是3.1416,可能來自阿基米德,也可能來自阿波罗尼奥斯[4]:176[53]數學家在1630年利用多邊形的方式計算π到第39位小數,一直到1699年,其他數學家才利用無窮級數的方式打破其紀錄,計算到第71位小數[54]

獨自研究圖形的阿基米德
阿基米德發展了用多邊形近似π的計算方式

中国历史上,的數值有3[55]、3.1547(公元前一世紀)、(公元前100年,數值約3.1623)及(第三世紀,數值約3.1556)[4]:176–177。大約在公元265年,曹魏的數學家刘徽創立了割圆术,用3,072邊的正多邊形計算出π的數值為3.1416。[56][4]:177刘徽後來又發明了一個較快的算法,利用邊數差兩倍的正多邊形,其面積的差值會形成等比數列,其公比為的原理,配合96邊形算出的數值為3.14。[56]祖冲之在公元480年利用割圆术計算12,288形的邊長,得到(現在稱為密率),其數值為3.141592920,小数点后的前七位數都是正確值。在之後的八百年內,這都是準確度最高的π估計值。[4]:178為紀念祖沖之對圓周率發展的貢獻,日本數學家三上義夫將這一推算值命名為“祖沖之圓周率”,簡稱“祖率”。[57]

印度天文學家阿耶波多在公元499年的著作《阿里亞哈塔曆書》中使用了3.1416的數值。[4]:179斐波那契在大約1220年利用獨立於阿基米德多邊形法,計算出3.1418[4]:180。義大利作家但丁·阿利吉耶里用的數值則是[4]:180

波斯天文學家卡西在1424年利用3×228邊的多邊形,計算到六十進制的第9位小數,相當十進制的第16位小數。[58][59]這一突破成為當時的紀錄,延續了約180年。[60]法國數學家弗朗索瓦·韦达在1579年用3×217邊形計算到第9位小數[60],佛蘭芒數學家阿德里安·范·羅門在1593年計算到第15位小數[60]。荷蘭數學家鲁道夫·范·科伊伦在1596年計算到第20位小數,他之後又計算到第35位小數(因此在二十世紀初之前,圓周率在德國會稱為鲁道夫數)。[4]:182–183荷蘭科學家威理博·司乃耳在1621年計算到第34位小數[4]:183,而奧地利天文學家克里斯托夫·格林伯格英语Christoph Grienberger在1630年用1040邊形計算到第38位小數[61],至今這仍是利用多邊形算法可以達到最準確的結果[4]:183

无穷级数

比較幾個曾用來計算π的無窮級數的收斂情形。Sn是只取前n項的近似值。每一個圖都是對應前一張圖的陰影部份,然後橫軸放大10倍。(點擊後可以察看細節)

16世紀及17世紀時,的計算開始改用無窮级数的計算方式。無窮级数是一組無窮數列的和[4]:185–191。無窮级数讓數學家可以計算出比阿基米德以及其他用幾何方式計算的數學家更準確的結果。[4]:185–191雖然詹姆斯·格雷果里戈特弗里德·莱布尼茨等歐洲數學家利用無窮數列計算π而使得该方法为大家所知,但这种方法最早是由印度科學家在大約1400到1500年之間發現的。[4]:185-186[62]第一個记载的用無窮级数計算π的人是约公元1500年左右时,印度天文學家尼拉卡莎·薩默亞士英语Nilakantha Somayaji在他的著作《系統匯編英语Tantrasamgraha》中用梵語詩所記錄。[63]當時沒有這個數列對應的證明,而證明出現在另一本較晚的印度作品《基本原理英语Yuktibhāṣā》,年代約在公元1530年。尼拉卡莎將該數列歸功於更早期的印度數學家桑加馬格拉馬的馬德哈瓦英语Madhava of Sangamagrama( 1350 –  1425)。[63]有許多相關的無窮级数,包括有關的,現在稱為馬德哈瓦數列英语Madhava seriesπ的莱布尼茨公式[63]。瑪達瓦在1400年用無窮级数計算π到第11位小數,但在1430年一位波斯數學家卡西利用多邊形算法否定了他算的的結果[64]

長髮艾萨克·牛顿的畫像
艾萨克·牛顿利用無窮级数計算π到第15位,後來寫道:「我很羞愧的告訴你我為了這個計算用了多少個數字。」[65]

歐洲第一個發現的無窮項圓周率公式無窮乘積(和一般用來計算π的無窮級數不同),由法國科學家弗朗索瓦·韦达在1593年發現[4]:187[66]

約翰·沃利斯在1655年發現了沃利斯乘积,是歐洲第二個發現的無窮項圓周率公式[4]:187

微积分学是由英國科學家艾萨克·牛顿及德國數學家戈特弗里德·莱布尼茨在1660年代發明,因此也出現許多計算π的無窮級數。牛頓自己就利用反正弦)數列在1655年或1666年將π近似到第15位小數,後來寫到「我很羞愧的告訴你我為了這個計算用了多少個數字,我當時沒有做其他的事。」[65]

蘇格蘭數學家詹姆斯·格雷果里在1671年發現了馬德哈瓦公式,莱布尼茨也在1674年發現:[4]:188–189[67]

這個公式即為格雷果里-莱布尼茨公式,在時數值為[67]1699年時英國數學家亚伯拉罕·夏普用格雷果里-莱布尼茨公式,在時計算,計算到了的第71位小數,打破由多邊形算法得到的第39位小數的记录。[4]:189格雷果里-莱布尼茨公式在時非常簡單,但收斂到最終值的速度非常慢,因此現在不再会用此公式來計算[4]:156

約翰·梅欽英语John Machin在1706年利用格雷果里-莱布尼茨級數產生了一個可以快速收斂的公式:[4]:192–193

梅欽用這個公式計算到的第100位小數[4]:72–74後來其他數學家也發展了一些類似公式,現在稱為梅欽類公式,創下了許多計算位數的記錄。[4]:72–74在進入電腦時代時,梅欽類公式仍然是个耳熟能详的可以計算的公式,而且在约250年的时间里,很多有關位數的記錄都是梅欽類公式所得,比如在1946年時由達尼爾·弗格森(Daniel Ferguson)用這類公式計算到第620位小數,是在沒有計算設備輔助下的最佳紀錄。[4]:192–196, 205

1844年,計算天才扎卡里亞斯·達斯英语Zacharias Dase在德國數學家卡爾·弗里德里希·高斯的要求下以梅欽類公式心算了的200個小數位,並創下紀錄。[4]:194-196英國數學家威廉·謝克斯英语William Shanks花了15年的時間計算π到小數707位,不過中間在第528位小數時出錯,因此後面的小數也都不正確。[4]:194–196

收敛速度

有些π的無窮級數收斂的比其他級數要快,數學家一般會選用收斂速度較快的級數,可以在較少的計算量下計算,且達到需要的準確度[68][4]:15–17, 70–72, 104, 156, 192–197, 201–202。以下是π莱布尼茨公式[4]:69–72

隨著一項一項的值加入總和中,只要項次夠多,總和最後會慢慢接近。不過此數列的收斂速度很慢,要到500,000項之後,才會精確到的第五小數[69]

尼拉卡莎在15世紀發展了另一個的無窮級數,其收斂速度較格雷果里-萊布尼茨公式要快很多,該級數為:[70]

以下比較二個級數的收斂速率:

的無窮級數 第1項 前2項 前3項 前4項 前5項 收斂到:
4.0000 2.6666... 3.4666... 2.8952... 3.3396... π = 3.1415...
3.0000 3.1666... 3.1333... 3.1452... 3.1396...

計算前5項後,格雷果里-萊布尼茨級數的和跟的誤差為0.2,而尼拉卡莎級數和的誤差為0.002。尼拉卡莎級數收斂的快很多,因此也比較適合用來計算的數值。收斂更快的級數有梅欽類公式楚德诺夫斯基算法,後者每計算一項就可以得到14位正確的小數值數[68]

无理性与超越性

并非所有和有关的研究都旨在提高计算它的准确性。1735年,欧拉解决了巴塞尔问题,因而建立了所有平方数倒数和与的关系。之后欧拉发现了欧拉乘积公式,得到了素数的重要關聯,對日後黎曼ζ函數的研究影響深遠。[71]

1761年,瑞士数学家约翰·海因里希·朗伯利用正切函数的无穷连分数表达式证明英语Proof that π is irrational無理數[4]:5[72]1794年,法国数学家阿德里安-马里·勒让德证明了也是无理数。1882年,德国数学家费迪南德·冯·林德曼证明了对任何非零代数数都是超越数,该结论后来由魏尔斯特拉斯推广为林德曼-魏尔斯特拉斯定理。据此定理和欧拉公式,只能是超越數,進而证实了勒让德和欧拉提出的超越性猜想。[4]:196[73]哈代在其著作《数论导引》中则称此证明在提出後,經過希尔伯特施瓦兹和其他一些人化简过。[74]

π符号的引入

萊昂哈德·歐拉在他在1736年到1748年的作品中開始使用希臘字母π表示圓周率,因此也開始廣為數學界使用

在用π专指“圆周率”之前,希腊字母即已用於幾何概念中[4]:166威廉·奥特雷德在1647年起在《數學之鑰》(Clavis Mathematicae)就已經用(對應p和d的希臘字母)來表示圓的周長及直徑的比例。

威廉·琼斯在他1706年出版的《新數學導論》(A New Introduction to the Mathematics)中提到了,是目前已知最早专门用希臘字母表示圓周和其直徑比例的人[75]。這個希臘字母的第一次出现,是在书中討論一個半徑為1的圓時,提到「其圓周長的一半()」。琼斯選用了的原因可能是因為它是希臘文中“周边”一词“περιφέρεια”的第一個字[76]。不過琼斯提到,他的那些有關的算式是出自「真正聰明的約翰·梅欽先生」,因此人们推測在瓊斯之前,約翰·梅欽英语John Machin就已经开始使用此希臘字母表示圓周率[4]:166

瓊斯是在1706年開始使用此希臘字母,但直到萊昂哈德·歐拉在其1736年出版的《力學英语Mechanica》中開始使用之后,其他的数学家们才纷纷开始用来指代圆周率。在此之前,數字家可能用像cp之類的字母代表圓周率[4]:166。因為歐拉與歐洲其他數學家之间时常互相写信来往,的用法迅速傳播开来[4]:166。1748年歐拉在他的《无穷小分析引论》再一次提到了,写道:「為了簡潔起見,我們將此數字寫為等於半徑為1的圓周長的一半。」这个表示方式之後也推展到整個西方世界[4]:166

现代数值近似

计算机时代与迭代算法

一位穿著西裝男士的照片
约翰·冯·诺伊曼所在的團隊是第一個用數位計算機ENIAC來計算π

高斯-勒让德算法
一開始設定

迭代計算:

π的估計值為

二十世紀中期计算机技术的发展、革新再次引发了計算π位數的熱潮。美國數學家约翰·伦奇及李維·史密斯在1949年利用桌上型計算機計算到1,120位[4]:205。同年,喬治·韋斯納(George Reitwiesner)及约翰·冯·诺伊曼帶領的團隊利用反三角函数(arctan)的無窮級數,通过ENIAC計算到了小數第2,037位,花了70小時的電腦工作時間[77]。這一紀錄後來多次由其他透過arctan級數计算出的結果打破(1957年到7480位小數,1958年到第一萬位數,1961年到第十萬位小數),直到1973年,人们计算出了小数点后的第一百萬位小數[4]:197

1980年代的两项發明加速了的計算。第一项是人们發现了新的的迭代法去计算π的值,其計算速度比無窮級數會要快很多。另一项是人们發现了可以快速計算大數字乘積的乘法演算法英语Multiplication algorithm[4]:15–17。這類演算法在現代π的計算上格外的重要,因為電腦大部分的工作時間都是在計算乘法[4]:131。這類演算法包括Karatsuba算法Toom–Cook乘法英语Toom–Cook multiplication及以傅里叶变换為基礎的乘法演算法(傅里叶乘法)[4]:132, 140

迭代演算法最早是在1975年至1976年间分别由美國物理學家尤金·薩拉明英语Eugene Salamin (mathematician)及奧地利科學家理查·布蘭特英语Richard Brent (scientist)独立提出[4]:87。這两个演算法没有依赖無窮級數來計算。迭代會重覆一個特定的計算,将前一次的計算結果作为這一次的輸入值,使得計算結果漸漸的趨近理想值。此方式的原始版本其實是在160年前由卡爾·弗里德里希·高斯提出,現在稱為算术-几何平均数算法(AGM法)或高斯-勒让德算法[4]:87。因為薩拉明及布蘭特都曾对此進行修改,因此这个算法也稱為薩拉明-布蘭特演算法。

迭代演算法因為收斂速度比無窮級數快很多,在1980年代以後廣為使用。無窮級數隨著項次的增加,一般來說正確的位數也會增加幾位,但迭代演算法每多一次計算,正確的位數會呈几何级数增长。例如薩拉明-布蘭特演算法每多一次計算,正確位數會是之前的二倍。1984年加拿大人喬納森·波温英语Jonathan Borwein彼得·波温英语Peter Borwein提出一個迭代演算法,每多一次計算,正確位數會是之前的四倍,1987年時有另一個迭代演算法,每多一次計算,正確位數會是之前的五倍[78]。日本數學家金田康正使用的演算法在1955年及2002年之間創下了若干个紀錄[79]。不過迭代演算法的快速收斂也有其代價,因为这个算法需要的内存的大小明顯的要比無窮級數要多[79]

计算π的意义

當數學家發現新的算法、電腦變得普及时,π的已知小數位急剧增加。注意垂直坐标使用了对数坐标

一般而言,π值并不需要过于精确便能够满足大部分的数学运算的需求。按照約爾格·阿恩特(Jörg Arndt)及克里斯托夫·黑內爾(Christoph Haenel)的计算,39個數位已足夠運算絕大多數的宇宙学的计算需求,因為這個精確度已能夠将可觀測宇宙圆周的精确度準確至一個原子大小[80]。 尽管如此,人們仍然是奋力地運算出小数点后的上千甚至上百萬個數位[4]:17–19。這一部分是出于人類對打破記錄的冲动,因为那些和π有關的成就往往成為世界各地的新聞頭條[81][82]。此外,这其中也有一些實際的好處,例如測試超级计算机、測試数值分析算法等(包括高精度乘法算法英语Multiplication algorithm#Fast multiplication algorithms for large inputs)。在純粹數學的领域中,计算的位数也能让人们来评定π的隨機性[4]:18

快速收敛级数

一位男士的肖像
斯里尼瓦瑟·拉马努金的肖像,他在印度独立工作时提出了许多新颖的计算π的数列。

现代计算的程序不仅仅局限于迭代算法。20世纪80与90年代,人们发现了一些可用来计算的新无穷级数,其收敛速度可与迭代算法媲美,而又有着复杂度、内存密集度更低的优势。[79]印度数学家斯里尼瓦瑟·拉马努金是这方面的先驱,他在1914年发表了许多与相关的公式,这些公式十分新颖,极为优雅而又颇具数学深度,收敛速度也非常快。[4]:103–104下式即为一例,其中用到了模方程

这个无穷级数收敛速度远快于绝大多数反正切数列,包括梅钦公式。[4]:104第一位使用拉马努金公式计算π并取得进展的是比尔·高斯珀英语Bill Gosper,他在1985年算得了小数点后一千七百万位。[4]:104, 206拉马努金公式开创了现代数值近似算法的先河,此后波尔文兄弟和楚德诺夫斯基兄弟英语Chudnovsky brothers进一步发展了这类算法。[4]:110–111后者于1987年提出了楚德诺夫斯基公式,如下所示:

此公式每计算一项就能得到π的约14位数值[83],因而用於突破圆周率的数位的计算。利用这个公式,楚德诺夫斯基兄弟于1989年算得小数点后10亿(109)位,法布里斯·贝拉于2009年算得2.7千亿(2.7×1012)位,亚历山大·易和近藤滋在2011年算得一万亿(1013)位。[4]:110–111, 206[84][85]类似的公式还有拉马努金-佐藤级数英语Ramanujan–Sato series

2006年,加拿大数学家西蒙·普勞夫利用PSLQ整数关系算法英语integer relation algorithm[86]按照以下模版生成了几个计算的新公式:

其中eπ格尔丰德-施奈德常数),是一个奇数是普勞夫计算出的有理常数。[87]

蒙特卡洛方法

长度为ℓ的针散落在画满间距为t的平行线的平面上
布豐投針問題,多枚长度为的针随机地抛掷向平面。
大量的点随机的散落在一个内切四分之一圆的正方形内
随机地往内切四分之一圆的正方形内抛掷大量的点。
蒙地卡羅方法基于随机试验结果计算π的近似值

蒙地卡羅方法是以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法,通过进行大量重复试验计算事件发生的频率,按照大数定律(即当试验次数充分大时,频率充分地接近于概率)可以求得的近似值[88]布豐投針問題就是其中一个应用的例子:当一枚长度为的针随机地往一个画满间距为的平行线的平面上抛掷次, 如果针与平行直线相交了次,那么当充分大时就可根据以下公式算出的近似值[89]

另一个利用蒙特卡罗方法计算值的例子是随机地往内切四分之一圆的正方形内抛掷大量的点,落在四分之一圆内的点的数量与抛掷点的总量的比值会近似等于.[4]:39–40[90]


此外,还可以通过进行随机游走试验,并利用蒙特卡罗方法计算值,如抛掷一枚均匀的硬币次,并记录正面朝上的次数,所得结果中,正面朝上的次数服从二項分佈

因为硬币均匀,所以N次试验中每次试验结果相互独立。由此可定义一系列独立的随机变量,当抛掷结果为正面时否则为-1,且且取何值具有相同的概率(即,正面朝上和背面朝上的概率相同)。对随机变量求和可得

k为“硬币正面朝上的次数”减去“硬币反面朝上的次数”,即可得到。对式子进行变换,得,因此

,其中

可以证明[91]

,以及

并且当变大时,的值会渐近于,因此当充分大时可根据以下公式算出的近似值:[92]

和其他计算值的方法相比,蒙特卡洛方法收敛速度很慢,而且无论进行多少次实验,都无从得知π的估值已经精确到了第几位。因此,当追求速度或精度时,蒙特卡洛方法不适合用来估计[4]:43[93]

阀门算法

1995年引入的兩個算法开辟了研究π的新途径。因为每计算出一位数字,該數就会像流过阀门的水一样不会再出现在后续的计算过程中,这种新進算法叫做阀门算法英语spigot algorithm[4]:77–84[94]这就与无穷级数及迭代算法形成对比——无穷级数和迭代算法自始至终的每一步计算都会涉及到之前所有步骤计算出的中间值。[4]:77–84

1995年,美國數學家斯坦·瓦格纳英语Stan Wagon和斯坦利·拉比諾維茨(Stanley Rabinowitz)发明了一种簡單的阀门算法[94][4]:77[95],其運算速度類似arctan演算法,但速度比迭代算法要慢[4]:77

贝利-波尔温-普劳夫公式(BBP)是另一個阀门算法,屬於一种位數萃取演算法英语digit extraction algorithm。1995年,西蒙·普勞夫等人發現[4]:117, 126–128[96]

這個公式和其他的公式不同,可以在十六进制下計算的任意位數小數,而不用計算所有前面的小數位數[4]:117, 126–128。一个十六进制下的数位可计算得到特定一个二进制的数位;想要得到一个八进制数位的话,计算一、两个十六进制小數即可。目前也已發現一些這種演算法的變體,不過人们還沒有发现針對十進制、可以快速產生特定位數小數數字的位數萃取演算法[97]。位數萃取演算法的一個重要用途是用來確認聲稱是計算到小數位數的新記錄:若有聲稱是新紀錄的計算結果出現,先將十進制的數值轉換到十六進制,再用贝利-波尔温-普劳夫公式,去確認最後的一些位數(用亂數決定),若這些位數都對,人们就能有一定把握认为此計算結果是对的[85]

在1998年到2000年之間,分布式计算計畫PiHex英语PiHex利用貝拉公式(贝利-波尔温-普劳夫公式的一種變體)計算π的第1015位元,結果是0[4]:20[98]。在2010年9月,一名雅虎員工利用公司的Apache Hadoop應用程式在上千台電腦上計算在2×1015個数位开始,往后数的256個位元,其第2×1015個位元剛好也是0[99]

用途

由于与圆密切相关, 它出现了许多几何学和三角学的公式中(特别是与圆、球体和椭圆相关的那些)。 此外也出现在其他学科的一些重要公式中,比如统计学、物理学,傅立叶分析和数论的公式。

几何学与三角学

圆右上四分之一處覆蓋在正方形下的图。
圆的面积等于π乘以阴影部分面积。

出现在基于圆的几何图形(如椭圆圆锥环面)的面积、体积公式中。下面是一些涉及到的较为常见的公式。[100]

  • 半径为的圆周长为
  • 半径为圆的面积
  • 半径为的球的体积为
  • 半径为的球面的面积为

上述公式是n 维球的体积与其边界((n−1) 维球的球面)的表面积的特殊情况,具体将在后文给出解释。

描述由圆产生的图形的周长、面积或体积的定积分通常会涉及到。例如,表示半径为1的半圆的面积的积分为:[101]

由于的积分表示上半圆(此处的平方根勾股定理得出), 从-1到1的积分可用来计算计算半圆与x之间的面积。

函数图象
正弦余弦函数的重复周期为 2π

三角函数要用到角,而数学家们常常用弧度作为角度的单位。在弧度制中起着重要作用,数学家将一个周角,即角度 360°,定义为弧度。[102]由这条定义可得,角度 180° 等于弧度,角度弧度。[102]因此,常用的三角函数的周期为的倍数;例如,正弦和余弦周期为[103]对于任何角度和任何整数,都有

,以及 [103]

拓扑学

克莱因四次方英语Klein quartic单值化亏格为3且欧拉特征值为−4的面,作为双曲面菲诺平面英语Fano plane对称群PSL(2,7)英语PSL(2,7)的商。根据高斯-博内定理,基本域的双曲面积为8π.

常数出现在将平面微分几何英语differential geometry of surfaces及其 拓扑学联系起来的高斯-博内定理中。具体来说,如果一个曲面Σ高斯曲率,那么有

其中是该曲面的欧拉示性数,是一个整数。[104]例如,一个曲率为1(也就是说其曲率半径英语radius of curvature也为1,对于球面而言此时的曲率半径与半径重合)的球面的表面积。球面的欧拉特征数可以通过其同源组计算,其结果为2。于是,便得出

即为半径为1的球面的表面积公式。

常数还出现在拓扑学的许多其他的积分公式中,特别是那些涉及通过陈-韦伊同态的特征类[105]

向量分析

向量分析的方法可以通过分解成球谐函数来理解(图示)

向量分析是与向量場的性质有关的微积分的分支,并有许多物理应用,例如应用在电磁学中。位于三维笛卡尔坐标系原点的点源牛顿位势英语Newtonian potential[106]

表示位于距原点的单位质量(或电荷)的势能,而是维度常数。在这里由表示的场可以是(牛顿)引力場或(库仑)電場,是位势的负梯度

特殊情况有库仑定律牛顿万有引力定律高斯定律表明,通过包含原点的任何平滑、简单、封闭、可定向曲面的场的向外通量等于

\oiint

标准形式会将的这个因子吸收到常数中,但这种说法表明了它必须出现在“某处”。此外,是单位球面的表面积,但並没有假设是球面。然而,作为散度定理的结果,由于远离原点的区域是真空(无源的),只有中的表面同调类与计算积分有关,因此可以由相同同调类中的任何方便的表面代替,特别是球形,因为球面坐标可以用于计算积分。

高斯定律的结果之一是位势的负拉普拉斯算子等于狄拉克δ函数倍:

通过卷积就能得到物质(或电荷)的更一般分布,给出泊松方程

其中是分布函数。

爱因斯坦方程表明,时空的曲率是由其中的物质能量产生的。

常数在与爱因斯坦场方程中的四维势起类似的作用,爱因斯坦方程是形成廣義相對論基础的一个基本公式,并且把引力基本相互作用描述为物质能量引起的时空弯曲的结果:[107]

其中里奇曲率張量数量曲率度量张量宇宙學常數万有引力常数是真空中的光速,而應力-能量張量。爱因斯坦方程的左边是度量张量的拉普拉斯算子的非线性模拟,並化簡(reduce)至在弱域的極限,而右边是分布函数的模拟乘以

柯西积分公式

複雜的解析函數可以以一系列的流綫和等電位綫(許多以直角相交的曲綫)視覺化,圖中是伽瑪函數的複數對數。

复分析中,沿复平面若尔当曲线围道积分是研究解析函数的重要手段之一。简化版的柯西積分公式表明,对任意若尔当曲线内任一点,以下围道积分给出[108]

该命题是柯西积分定理的直接推论,后者表明上述围道积分在围道的同伦变换下保持不变,因而沿任一曲线的积分和沿以为圆心的圆周积分的结果相同。更为一般地,该公式对不通过点的任意可求长曲线都成立,但等式右边要乘以曲线关于该点的卷绕数

一般形式的柯西積分公式建立了全纯函数 在若尔当曲线上的值与曲线内任意点处值的关系:[109][110]

柯西积分定理是留数定理的一个特例。根据留数定理,在区域内除去有限个解析的亚纯函数在边界上的围道积分与函数在这些点的留数之和满足:

Γ函数与斯特灵公式

通过维拉瑞索圆英语Villarceaux circles将三个球面霍普夫纤维化,下方是 富比尼–施图迪度量黎曼球面 with its 富比尼–施图迪度量 (如图所示的三个平行曲面). 恒等式S3(1)/S2(1) = π/2可以确定一个数列。

阶乘函数的值等于所有小于等于的正整数之积,它的定义域只包含非负整数。Γ函数则是階乘的推广。它在复平面的右半平面定义为:

再利用解析延拓可以将它的定义域扩展到除去非正整数的整个复数域。当自变量取正整数时,函数给出阶乘;当自变量取半整数时,计算结果含有。例如[111]

根据魏尔施特拉斯分解定理函数可分解为如下的无穷乘积:[112]

其中歐拉-馬斯刻若尼常數。利用该分解公式和函数在的值,亦可以证明沃利斯乘积式。函数和黎曼ζ函數函数行列式英语functional determinant的恒等式存在关联,其中扮演着重要的角色

函数常用于计算维欧氏空间中n 维球的体积和n 维球面的表面积。对维欧氏空间中半径为维球,其体积和表面积满足:[113]

两者还满足如下的关系式:

很大时,利用函数可以得到关于阶乘的一个近似公式。该公式稱作斯特靈公式[114],等价于:

斯特灵近似的几何应用之一是埃尔哈特体积猜想英语Ehrhart's volume conjecture。将维欧几里得空间的单纯形记作则表示该单纯形的所有面扩大。于是

这是仅含一个晶格点之凸体体积的(最佳)上界[115]

数论与黎曼函数

每个质数都有一个关联的普魯法群英语Prüfer group,即圆的算数定域。分析数论中的L函數也定域在每个质数p上。
基于韦伊猜想英语Weil conjecture on Tamagawa numbers的巴塞尔问题的解: 的数值是模群英语modular group中一个基本域的双曲面积的 倍。

黎曼ζ函数 在数学的许多领域均有应用。当自变量 ,可以写作

找到这个无穷级数的解析解是数学界著名的“巴塞尔问题”。1735年,欧拉解决了这个问题,他得到该无穷级数等于[71]。欧拉的结论可以推导出一个数论中的结果,即两个随机整数互质(即无公因数)的概率为 [4]:41–43[116]。由于任意整数可由质数整除的概率(例如,在所有正整数中,连续7个数中有且只有一个可以被7整除)。因此,任取两个随机整数都能以质数整除的概率为,至少有一个不能整除的概率则为。又因为一个随机整数能否被两个不同的质数整除是相互独立事件,那么两个随机整数互质的概率可以表示成关于所有质数的无穷乘积[117]

这个结论可以结合随机数生成器,利用蒙特卡罗方法计算的近似值。[4]:43

巴塞尔问题的结论意味着几何导出量的数值与质数的分布有着深刻的关联。巴塞尔问题是谷山-志村定理的一个特殊情况,是安德烈·韦伊对玉河数的猜想英语Weil's conjecture on Tamagawa numbers的一个特例,即猜想一个这种形式的算术量关于所有质数的无穷乘积能够等于一个几何量——某个局部对称空间英语locally symmetric space体积的倒易。在巴塞尔问题中,这个空间是一个双曲3-流形英语hyperbolic 3-manifold SL2(R)/SL2(Z)英语modular group[118]

函数同样满足黎曼方程的公式,其中用到了和伽玛公式:

除此之外, 函数导数也满足

最终的结果是可以从谐振子泛函行列式英语functional determinant中求得。这个泛函行列式可以通过一个无穷乘积展开式计算, 而且这种方法等价于沃利斯乘积公式。[119]这种方法可以应用于量子力学, 尤其是玻尔模型中的变分[120]

傅里叶级数

π出现在P进数中的表示(如图),它們是普魯法群英语Prüfer group的元素。泰特的論文英语Tate's thesis很大程度地利用了這個系統。[121]

周期函数傅里叶级数中,很自然地出现了。周期函数即实数的小数部分所构成群上的函数。傅里叶分解指出,一个上的复值函数可表示为无穷多个酉特征英语unitary character的线性叠加之和。也就是说,圓群(模为1的复数组成的乘法群)的映射是连续群同態的特征都具有的形式,这是一个定理。

上存在一个唯一的特征值,直到复共轭,那是一个群同态。在圆群中使用 哈尔测度,常数是这个特征值的拉东-尼科迪姆导数值的一半。其他的特征值的导数值为的正整数倍。[17]因此,常数是一个独特的数字,以至于配备了其哈尔测度的群,具有对于整数倍的点阵的庞特里亚金对偶性[122]。这是泊松和公式英语Poisson summation formula的一维版本。

模形式与函数

常數模形式Θ函數密切相关——比如,椭圆曲线中的j变量英语j-invariant就很大程度上涉及到了楚德诺夫斯基算法(一种快速计算π的方法)。

模形式是以在上半平面全純函數的在模群英语modular group(或其子群,的一格)下的變換特性歸納。Θ函數便是一例:

它是一種名為雅可比形式英语Jacobi form的模形式,[123]有時以諾姆英语nome (mathematics)表達。

常數是一個特殊的常數,它會使雅可比函數形成自守形式,即該函數會以特定方式變換。有若干恆等式在所有自守形式下成立。,例如:

它使得必然在離散海森伯群下以表示(representation)變換。一般模形式和其他函數也包含,這也是根據史東–馮紐曼定理英语Stone–von Neumann theorem[123]

柯西分布与位势论

箕舌线,其英文名来源于玛利亚·阿涅西(1718–1799),是柯西分布的一个几何构筑图。

柯西分布

是一个概率密度函数。其总概率等于1,因为下列积分:

柯西分布的香农熵等于, 也含

柯西分布控制做布朗运动的粒子通过膜的通道

柯西分布在位势论中扮演着重要的角色因为它是最简单的福斯坦堡测度英语Furstenberg boundary和与在半平面上做布朗运动相关联的经典泊松核[124]共轭谐波函数英语Conjugate harmonic function以及希尔伯特变换与泊松核的渐近线有关。 希尔伯特变换是一个由奇异积分柯西主值给出的积分变换

常数是唯一的(正)归一化因子因此定义了一个在实数轴上的平方可积分实值函数的希尔伯特空间上的线性复结构英语linear complex structure[125]。 和傅里叶变换一样,希尔伯特变换就其在希尔伯特空间的变换特性而言可以完全特征化。直到归一化,它是唯一的与正膨胀对易且与实数轴的所有反射反对易有界线性算子[126]。常数是唯一的能使这个变换幺正的归一化因子。

複變動態系統

一個複數平面下,曼德博集合的黑色圖案,背景為藍色的
可以從曼德博集合中計算π,計算方式和計算從(−0.75, ε)點開始,一直到發散之前的次數有關

大衛·波爾(David Boll)在1991年發現在曼德博集合分形中也有π的出現[127]。他檢查在曼德博集合在位置的特性。若考慮坐標在「頸部」的點,而趨近於零,在發散之前迭代的次數和相乘,會趨近於。若是在右側尖點處附近的點也會有類似的特性:在發散之前迭代的次數和的平方根相乘,也會趨近於[127][128]

数学之外的

描述物理现象

即便不是一个物理常数也经常出现在描述宇宙的基本原则方程中,因为与圆以及球坐标系的关系密切。比方说,这是经典力学领域一个简单的公式,给出了长度为L的单摆做小幅摆动的近似周期(为地球引力加速度常数):[129]

海森堡不确定性原理是量子力学的一个基本公式,它表明在对一个粒子测量时,其位置不确定度()与动量不确定度()不可能同时达到任意小(普朗克常数):[130]

近似於三这一特性,和电子偶素的半衰期相對較長有密切的联系。其半衰期的倒數和精细结构常数的關係為[131]

其中為電子質量。

也出現在許多結構工程的公式中,例如歐拉推導的挫曲公式說明了長度為截面二次轴矩I的細長形物體,在不挫曲的條件下可以承受的最大軸向負載[132]

流體動力學斯托克斯定律中也有。斯托克斯定律是半径约为的小球體在黏度流體中以速度運動時會受到的阻力满足[133]

在理想状态下,一个河流的曲折程度——也就是河道本身的长度与源头到入海口的比值——随着时间的推移逐渐趋向于。河流外边缘的快速水流的弯曲会导致河流内边缘加倍的侵蚀,而河道因此变得更加弯曲,使得整个河流弯折得更加厉害。然而,这股弯折劲儿最终会导致河流折回一开始弯折的地方,导致“短路”,并在此过程中形成一个河迹湖。这两种相反的因素使得河道长度与源头到入海口的比值的平均值为π[134][135]

的记忆技巧

π文字學(或譯作圆周率π的语言学)是指人们記住大量的位值[4]:44–45,并将其世界紀錄載於健力士世界紀錄大全中的做法。維爾·米納(Rajveer Meena)於2015年3月21日在印度於9小時27分鐘內背誦了7萬位的,创下健力士世界紀錄大全認證的世界紀錄。[136]2006年,日本退休工程師原口證,自稱已經背誦了十萬個小數位,但他未獲健力士世界紀錄大全認證。[137]

一個常用於記憶π的技巧是背誦一個以單詞的長度代表數值的故事或詩歌:第一個單詞有三個字母,第二個單詞有一個字母,第三個單詞有四個字母,第四個單詞有一個字母,第五個單詞有五個字母,如此類推。一個早期的例子是由英國科學家詹姆士·金斯設計的詩歌:「How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics.[4]:44–45這一類的詩歌有時在英文中稱為「piem」。除了英文,用於記憶π的詩歌亦有不同語言的版本[4]:44-45。但是,創下紀錄的記憶的人一般並不以詩歌記憶,而是用如記憶數字規律或軌跡法英语method of loci的方法。[138]

有好幾位作家仿照上述记忆技巧,用的數值創作了新型的約束寫作英语constrained writing方式,其中單詞的長度須符合的數值。《The Cadaeic Cadenza英语Cadaeic Cadenza》以上述技巧包含了前3835位的值[139],一本標準長度的書《Not a Wake》有一萬個單詞,其中每個單詞亦代表了的一個位值。[140]

大众文化中的

Pi Pie at Delft University
一個π派。圓形的西式餡餅是個常見的π雙關語(在英語中,圓周率和派的發音相同)。

也許因為的公式很簡短而且四處可見, 比其他數學常数在流行文化中更常見[註 3]

在2008年由英國公開大學英國廣播公司聯合制作的記錄片《数学的故事英语The Story of Maths》于2008年十月由英國廣播公司第四台播放。影片讲述了英國數學家马库斯·杜·索托伊在到訪印度研究當地三角學的貢獻時,展示出歷史上π最精確的計算公式的信息图形[143]

在巴黎的科学博物馆發現宮中有一個稱為「房」的圓形房間。牆上刻有的707位數字。數字貼在圓頂狀的天花板上,由大型的木製字符組成。數值是1853年由英國數學家威廉·尚克思英语William Shanks的計算結果,但是该结果於第528位后開始出現謬誤,其在1946年發現,1949年修正。[144][4]:50

卡尔·萨根的小说《接觸未來》中则暗示说,宇宙的创造者在π的数字中暗藏了一则信息。[145]π的数字也用在凱特·布希所出的专辑Aerial英语Aerial (album)中的《Pi》的歌词里。[146]

在美国,人们在3月14日庆祝圓周率日,一个在学生中很流行的节日。[147]一些自称“数学极客”的人常常用与其数位来创作一些数学或技术圈内人士才能领会到的笑话麻省理工学院则有几个包含“3.14159”的大学歡呼口號英语cheering[148]2015年的圆周率日格外重要,因为按照美式的写法,当天的日期时间3/14/15 9:26:53较之于其他的圆周率日包含了更多位数的[149]

北电网络于2011年举行的技术专利拍卖会上,谷歌使用了一些包含在内的数学或科学常数进行竞价。[150]

在1958年,阿尔伯特·伊格尔英语Albert Eagle提议换成τ(tau)以便简化公式。在此定义为的一半[151]。然而,没有任何其他作者曾这样使用过。有些人使用一个不同的值,[152]这些人辩称,不论是作为弧度制下一个圆形周长的1,还是作为弧长与半径的比值(而不是与直径的比值),都比显得更加自然,也能因此简化掉许多公式。[153][154]已经有媒体报道称,有人在6月28日庆祝“节”,并吃“两个派”,因为的值大小约为6.28。[155]然而,对于的使用还并没有在数学界成为主流。[156]

在1897年,一个业余的美国数学家试图通过印第安纳州议会来通过後世所謂印第安纳圆周率法案的法案。这一法案因试图以法律命令强制规定一个数学常数而臭名远扬。该法案描述了一个化圆为方的方法,并间接提到了的错误值,例如3.2。该法案通过了印第安纳州众议院的表决,但是被参议院否决。[4]:211–212[157][158]

注释

  1. ^ 这个多项式正弦函数的泰勒级数展开的前三项。
  2. ^ 依照胡夫金字塔,那些和金字塔高度一致的圆形,周长应等同于金字塔底部的周长(即高度为280,周长为1760[46]
  3. ^ 例如,柯利弗德·皮寇弗稱π為「最知名的數學常数」,皮特森則寫道:「在所有數學常數當中,π一向最受瞩目。」例如紀梵希π香水、Π (電影)以及圓周率日[141][142]

參考資料

書籍

引用

  1. ^ George E. Andrews, Richard Askey, Ranjan Roy. Special Functions. Cambridge University Press. 1999: 58. ISBN 0-521-78988-5. 
  2. ^ Gupta, R. C. On the remainder term in the Madhava–Leibniz's series. Ganita Bharati. 1992, 14 (1-4): 68–71. 
  3. ^ y-cruncher - A Multi-Threaded Pi Program. [2015-03-18]. (原始内容存档于2015-04-16). 
  4. ^ 4.00 4.01 4.02 4.03 4.04 4.05 4.06 4.07 4.08 4.09 4.10 4.11 4.12 4.13 4.14 4.15 4.16 4.17 4.18 4.19 4.20 4.21 4.22 4.23 4.24 4.25 4.26 4.27 4.28 4.29 4.30 4.31 4.32 4.33 4.34 4.35 4.36 4.37 4.38 4.39 4.40 4.41 4.42 4.43 4.44 4.45 4.46 4.47 4.48 4.49 4.50 4.51 4.52 4.53 4.54 4.55 4.56 4.57 4.58 4.59 4.60 4.61 4.62 4.63 4.64 4.65 4.66 4.67 4.68 4.69 4.70 4.71 4.72 4.73 4.74 4.75 4.76 4.77 4.78 Arndt & Haenel 2006
  5. ^ David Bailey; Jonathan Borwein; Peter Borwein; Simon Plouffe, The Quest for Pi, The Mathematical Intelligencer, 1997, 19 (1): 50–56, doi:10.1007/bf03024340 
  6. ^ Boeing, Niels. 存档副本 Die Welt ist Pi [The World is Pi]. Zeit Online. 2016-03-14 [2016-09-13]. (原始内容存档于2016-03-17) (德语). Die Ludolphsche Zahl oder Kreiszahl erhielt nun auch das Symbol, unter dem wir es heute kennen: William Jones schlug 1706 den griechischen Buchstaben π vor, in Anlehnung an perimetros, griechisch für Umfang. Leonhard Euler etablierte π schließlich in seinen mathematischen Schriften.中文:“鲁道夫数”,或称“圆周率”,同样獲得一个如今广为人知的符号——威廉·琼斯1706年提出使用字母π,因为这是希腊语“周长”(περίμετρος)的开头字母。莱昂哈德·欧拉在其数学著作中確立了π的使用。 
  7. ^ pi. Dictionary.com. [2017-07-15]. (原始内容存档于2017-07-18). 
  8. ^ Tom Apostol, Calculus, volume 1 2nd, Wiley, 1967 。 Page 102: "From a logical point of view, this is unsatisfactory at the present stage because we have not yet discussed the concept of arc length." Arc length is introduced on page 529.
  9. ^ 9.0 9.1 9.2 Remmert, Reinhold, What is π?, Numbers, Springer: 129, 1991 
  10. ^ Remmert(1991)。魏尔斯特拉斯使用的积分实为
  11. ^ Richard Baltzer, Die Elemente der Mathematik, Hirzel: 195, 1870 
  12. ^ Edmund Landau, Einführung in die Differentialrechnung und Integralrechnung, Noordoff: 193, 1934 
  13. ^ 13.0 13.1 Rudin, Walter. Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill. 1976. ISBN 0-07-054235-X. , p 183.
  14. ^ Rudin, Walter. Real and complex analysis. McGraw-Hill. 1986. , p 2.
  15. ^ Lars Ahlfors, Complex analysis, McGraw-Hill: 46, 1966 
  16. ^ Nicolas Bourbaki, Topologie generale, Springer, 1981 , §VIII.2
  17. ^ 17.0 17.1 Nicolas Bourbaki, Fonctions d'une variable réelle, Springer, 1979 , §II.3.
  18. ^ Salikhov, V. On the Irrationality Measure of pi. Russian Mathematical Survey. 2008, 53 (3): 570–572. Bibcode:2008RuMaS..63..570S. doi:10.1070/RM2008v063n03ABEH004543. 
  19. ^ 19.0 19.1 Preuss, Paul. Are The Digits of Pi Random? Lab Researcher May Hold The Key. Lawrence Berkeley National Laboratory. 2001-07-23 [2007-11-10]. (原始内容存档于2007-10-20). 
  20. ^ Mayer, Steve. The Transcendence of π. [2007-11-04]. (原始内容存档于2000-09-29). 
  21. ^ Posamentier & Lehmann 2004,第25页
  22. ^ Eymard & Lafon 1999,第129页
  23. ^ Beckmann 1989,第37页
    Schlager, Neil; Lauer, Josh. Science and Its Times: Understanding the Social Significance of Scientific Discovery. Gale Group. 2001. ISBN 0-7876-3933-8. ,第185页
  24. ^ 24.0 24.1 Eymard & Lafon 1999,第78页
  25. ^ Sloane, N.J.A. (编). Sequence A001203 (Continued fraction for Pi). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.  Retrieved 12 April 2012.
  26. ^ Lange, L. J. An Elegant Continued Fraction for π. The American Mathematical Monthly. 1999-05, 106 (5): 456–458. JSTOR 2589152. doi:10.2307/2589152. 
  27. ^ Kennedy, E. S., Abu-r-Raihan al-Biruni, 973-1048, Journal for the History of Astronomy: 65, Bibcode:1978JHA.....9...65K, doi:10.1177/002182867800900106 克劳狄乌斯·托勒密使用了60进制下的三位小数去近似, 随后卡西将其扩展到了九位小数。参见Aaboe, Asger, Episodes from the Early History of Mathematics, New Mathematical Library 13, 纽约: Random House: 125, 1964 
  28. ^ Ayers 1964,第100页
  29. ^ 29.0 29.1 Bronshteĭn & Semendiaev 1971,第592页
  30. ^ Maor, Eli, E: The Story of a Number, Princeton University Press, 2009, p 160, ISBN 978-0-691-14134-3 ("five most important" constants)
  31. ^ 埃里克·韦斯坦因. Roots of Unity. MathWorld. 
  32. ^ 大卫·希尔伯特; 理查·科朗特, Methods of mathematical physics, volume 1, Wiley: 286&endash;290, 1966 
  33. ^ H Dym; H P McKean, Fourier series and integrals, Academic Press: 47, 1972 
  34. ^ Isaac Chavel, Isoperimetric inequalities, Cambridge University Press, 2001 
  35. ^ Capogna, L.; Danielli, D.,; Pauls, S.D.; Tyson, J., An Introduction to the Heisenberg Group and the Sub-Riemannian Isoperimetric Problem, Progress in Mathematics, Birkhäuser, 2007 , Chapter 7.
  36. ^ Talenti, Giorgio, Best constant in Sobolev inequality, Annali di Matematica Pura ed Applicata: 353–372, [2016-09-13], ISSN 1618-1891, doi:10.1007/BF02418013, (原始内容存档于2017-01-29) 
  37. ^ L. Esposito; C. Nitsch; C. Trombetti, Best constants in Poincaré inequalities for convex domains, arXiv:1110.2960 
  38. ^ M Del Pino; J Dolbeault, Best constants for Gagliardo–Nirenberg inequalities and applications to nonlinear diffusions, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 2002, 81 (9): 847–875, doi:10.1016/s0021-7824(02)01266-7 
  39. ^ Gerald Folland, Harmonic analysis in phase space, Princeton University Press: 5, 1989 
  40. ^ Howe 1980
  41. ^ Bronshteĭn & Semendiaev 1971,第106–107, 744, 748页
  42. ^ Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1, Wiley, 1968, pp 174–190.
  43. ^ H Dym; H P McKean, Fourier series and integrals, Academic Press, 1972 ; Section 2.7
  44. ^ Elias Stein; Guido Weiss, Fourier analysis on Euclidean spaces, Princeton University Press: 6, 1971 ; Theorem 1.13.
  45. ^ Petrie, W.M.F. Wisdom of the Egyptians (1940)
  46. ^ Verner, Miroslav. The Pyramids: The Mystery, Culture, and Science of Egypt's Great Monuments. Grove Press. 2001 (1997). ISBN 0-8021-3935-3
  47. ^ Rossi, Corinna Architecture and Mathematics in Ancient Egypt, Cambridge University Press. 2007. ISBN 978-0-521-69053-9.
  48. ^ Legon, J. A. R. On Pyramid Dimensions and Proportions (1991) Discussions in Egyptology (20) 第25-34页 [1] 页面存档备份,存于互联网档案馆
  49. ^ "We can conclude that although the ancient Egyptians could not precisely define the value of π, in practice they used it". Verner, M. The Pyramids: Their Archaeology and History. 2003. ,第70页。
    Petrie. Wisdom of the Egyptians. 1940. ,第30页。
    参见Legon, J. A. R. On Pyramid Dimensions and Proportions. Discussions in Egyptology. 1991, 20: 第25–34页 [2016-09-13]. (原始内容存档于2011-07-18). .
    参见Petrie, W. M. F. Surveys of the Great Pyramids. Nature. 1925, 116 (2930期): 第942页. Bibcode:1925Natur.116..942P. doi:10.1038/116942a0. 
  50. ^ Egyptologist: Rossi, Corinna, Architecture and Mathematics in Ancient Egypt, Cambridge University Press, 2004, 第60-70页,200, ISBN 9780521829540.
    对此的怀疑:Shermer, Michael英语Michael Shermer, The Skeptic Encyclopedia of Pseudoscience, ABC-CLIO, 2002, 第407-408页, ISBN 9781576076538.
    参见Fagan, Garrett G., Archaeological Fantasies: How Pseudoarchaeology Misrepresents The Past and Misleads the Public, Routledge, 2006, ISBN 9780415305938.
    若需要一个没有π参与的解释的列表,请见Roger Herz-Fischler. The Shape of the Great Pyramid. Wilfrid Laurier University Press. 2000: 第67–77页,第165–166页 [2013-06-05]. ISBN 9780889203242. 
  51. ^ Chaitanya, Krishna. A profile of Indian culture. Indian Book Company (1975). 第133页。
  52. ^ The Computation of Pi by Archimedes: The Computation of Pi by Archimedes – File Exchange – MATLAB Central. Mathworks.com. [2013-03-12]. (原始内容存档于2013-02-25). 
  53. ^ Boyer & Merzbach 1991,第168页
  54. ^ Arndt & Haenel 2006,第15–16, 175, 184–186, 205页Grienberger在1630年已計算到39位小數,Sharp在1699年計算到71位小數
  55. ^ 周髀算經》注中, 趙爽指出「圓徑一而周三,方徑一而匝四」。
  56. ^ 56.0 56.1 Boyer & Merzbach 1991,第202页
  57. ^ 此零非彼O. 臺灣商務印書館. 2006: 286. ISBN 978-957-05-2072-9. 
  58. ^ Azarian, Mohammad K. al-Risāla al-muhītīyya: A Summary. Missouri Journal of Mathematical Sciences. 2010, 22 (2): 64–85 [2016-09-13]. (原始内容存档于2015-01-14). 
  59. ^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. Ghiyath al-Din Jamshid Mas'ud al-Kashi. MacTutor History of Mathematics archive. 1999 [2012-08-11]. (原始内容存档于2011-04-12). 
  60. ^ 60.0 60.1 60.2 Arndt & Haenel 2006,第182页
  61. ^ Grienbergerus, Christophorus. Elementa Trigonometrica (PDF). 1630. (原始内容 (PDF)存档于2014-02-01) (拉丁语). 。其計算結果是3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4196 < π < 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4199
  62. ^ Roy 1990,第101–102页
  63. ^ 63.0 63.1 63.2 Roy 1990,第101–102页
  64. ^ Joseph 1991,第264页
  65. ^ 65.0 65.1 Arndt & Haenel 2006,第188页. 牛顿由Arndt引用。
  66. ^ A060294
  67. ^ 67.0 67.1 Eymard & Lafon 1999,第53–54页
  68. ^ 68.0 68.1 Borwein, J. M.; Borwein, P. B. Ramanujan and Pi. Scientific American. 1988, 256 (2): 112–117. Bibcode:1988SciAm.258b.112B. doi:10.1038/scientificamerican0288-112. 
  69. ^ Borwein, J. M.; Borwein, P. B.; Dilcher, K. Pi, Euler Numbers, and Asymptotic Expansions. American Mathematical Monthly. 1989, 96 (8): 681–687. doi:10.2307/2324715. 
  70. ^ Arndt & Haenel 2006,第223页, (formula 16.10). Note that (n − 1)n(n + 1) = n3 − n.
    Wells, David. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers revised. Penguin. 1997: 35. ISBN 978-0-140-26149-3. 
  71. ^ 71.0 71.1 Posamentier & Lehmann 2004,第284页
  72. ^ Lambert, Johann, "Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes circulaires et logarithmiques", reprinted in Berggren,Borwein & Borwein(1997),第129–140页
  73. ^ Hardy and Wright 1938 and 2000:177 footnote §11.13-14 references Lindemann's proof as appearing at Math. Ann. 20 (1882), 213-25.
  74. ^ cf Hardy and Wright 1938 and 2000:177 footnote §11.13-14. The proofs that e and π are transcendental can be found on pages 170-176. They cite two sources of the proofs at Landau 1927 or Perron 1910; see the "List of Books" at pages 417-419 for full citations.
  75. ^ Arndt & Haenel 2006,第165页. A facsimile of Jones' text is in Berggren,Borwein & Borwein(1997),第108–109页
  76. ^ 參考Schepler 1950,第220页: 威廉·奥特雷德用字母π來表示一個圓的周長
  77. ^ Arndt & Haenel 2006,第197页。参见 Reitwiesner 1950.
  78. ^ Arndt & Haenel 2006,第第111页(5 倍);第113–114(4 倍)页.
    具体算法情参见Borwein & Borwein 1987
  79. ^ 79.0 79.1 79.2 Bailey, David H. Some Background on Kanada’s Recent Pi Calculation (PDF). 2003-05-16 [2012-04-12]. (原始内容存档 (PDF)于2012-04-15). 
  80. ^ Arndt & Haenel 2006,第17页“39 digits of π are sufficient to calculate the volume of the universe to the nearest atom.”(中文:39位π已经足以计算宇宙到其最近的原子的体积了。)
    鉴于人们需要一些额外的数位来解决捨入誤差的问题,阿恩特称几百位小数足以应付任何科学计算了。
  81. ^ Schudel, Matt. John W. Wrench, Jr.: Mathematician Had a Taste for Pi. The Washington Post. 2009-03-25: B5. 
  82. ^ Connor, Steve. The Big Question: How close have we come to knowing the precise value of pi?. The Independent (London). 2010-01-08 [2012-04-14]. (原始内容存档于2012-04-02). 
  83. ^ Eymard & Lafon 1999,第254页
  84. ^ Fabrice Bellard. Computation of 2700 billion decimal digits of Pi using a Desktop Computer - Semantic Scholar. www.semanticscholar.org. 2010-02-11 [2017-04-10]. 
  85. ^ 85.0 85.1 Pi - 12.1 Trillion Digits. www.numberworld.org. [2012-05-30]. (原始内容存档于2014-01-01). 
  86. ^ PSLQ即Partial Sum of Least Squares,偏最小二乘和。
  87. ^ Plouffe, Simon. Identities inspired by Ramanujan's Notebooks (part 2) (PDF). 2006-04 [2009-04-10]. (原始内容存档 (PDF)于2012-01-14). 
  88. ^ 苏淳, 概率论 2nd, 北京: 科学出版社: 41, 2010 
  89. ^ 苏淳, 概率论 2nd, 北京: 科学出版社: 34–35,41, 2010 
  90. ^ Posamentier & Lehmann 2004,第105页
  91. ^ Random Walk--1-Dimensiona, Wolfram Math World, [2016-09-18], (原始内容存档于2016-11-18) 
  92. ^ Grünbaum, B., Projection Constants, Trans. Amer. Math. Soc., 1960, 95: 451–465 
  93. ^ Posamentier & Lehmann 2004,第105–108页
  94. ^ 94.0 94.1 Gibbons, Jeremy, "Unbounded Spigot Algorithms for the Digits of Pi" 页面存档备份,存于互联网档案馆, 2005. Gibbons produced an improved version of Wagon's algorithm.
  95. ^ Rabinowitz, Stanley; Wagon, Stan. A spigot algorithm for the digits of Pi. American Mathematical Monthly. 1995-03, 102 (3): 195–203. doi:10.2307/2975006.  A computer program has been created that implements Wagon's spigot algorithm in only 120 characters of software.
  96. ^ Bailey, David H; Borwein, Peter B; and Plouffe, Simon. On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants (PDF). Mathematics of Computation. 1997-04, 66 (218): 903–913 [2016-09-13]. doi:10.1090/S0025-5718-97-00856-9. (原始内容存档 (PDF)于2012-07-22). 
  97. ^ Arndt & Haenel 2006,第128页。普勞夫有找到十進制的位數萃取演算法,但其速度比完整計算之前所有位數要慢。
  98. ^ Bellards formula in: Bellard, Fabrice. A new formula to compute the nth binary digit of pi. [2007-10-27]. (原始内容存档于2007-09-12). 
  99. ^ Palmer, Jason. Pi record smashed as team finds two-quadrillionth digit. BBC News. 2010-09-16 [2011-03-26]. (原始内容存档于2011-03-17). 
  100. ^ Bronshteĭn & Semendiaev 1971,第200, 209页
  101. ^ 埃里克·韦斯坦因. Semicircle. MathWorld. 
  102. ^ 102.0 102.1 Ayers 1964,第60页
  103. ^ 103.0 103.1 Bronshteĭn & Semendiaev 1971,第210–211页
  104. ^ Michael Spivak, A comprehensive introduction to differential geometry 3, Publish or Perish Press, 1999 ; Chapter 6.
  105. ^ Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi, Foundations of Differential Geometry Vol. 2 New, Wiley Interscience: 293, 1996 ; Chapter XII Characteristic classes
  106. ^ H. M. Schey (1996) Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus, ISBN 0-393-96997-5.
  107. ^ Yeo, Adrian, The pleasures of pi, e and other interesting numbers, World Scientific Pub., 2006, p 21, ISBN 978-981-270-078-0.
    Ehlers, Jürgen, Einstein's Field Equations and Their Physical Implications, Springer, 2000, p 7, ISBN 978-3-540-67073-5.
  108. ^ Lars Ahlfors, Complex analysis, McGraw-Hill: 115, 1966 
  109. ^ 埃里克·韦斯坦因. Cauchy Integral Formula. MathWorld. 
  110. ^ Joglekar, S. D., Mathematical Physics, Universities Press, 2005, p 166, ISBN 978-81-7371-422-1.
  111. ^ Bronshteĭn & Semendiaev 1971,第191–192页
  112. ^ 埃米爾·阿廷, The gamma function, Athena series; selected topics in mathematics 1st, Holt, Rinehart and Winston, 1964 
  113. ^ Lawrence Evans, Partial differential equations, AMS: 615, 1997 
  114. ^ Bronshteĭn & Semendiaev 1971,第190页
  115. ^ Benjamin Nill; Andreas Paffenholz, On the equality case in Erhart's volume conjecture, Advances in Geometry, 2014, 14 (4): 579–586, ISSN 1615-7168, arXiv:1205.1270, doi:10.1515/advgeom-2014-0001 
  116. ^ 此理论由Ernesto Cesàro于1881年证明. For a more rigorous proof than the intuitive and informal one given here, see Hardy, G. H., An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford University Press, 2008, ISBN 978-0-19-921986-5, theorem 332.
  117. ^ Ogilvy, C. S.; Anderson, J. T., Excursions in Number Theory, Dover Publications Inc., 1988, pp. 29–35, ISBN 0-486-25778-9.
  118. ^ Vladimir Platonov; Andrei Rapinchuk, Algebraic groups and number theory, Academic Press: 262&endash;265, 1994 
  119. ^ Sondow, J., Analytic Continuation of Riemann's Zeta Function and Values at Negative Integers via Euler's Transformation of Series, Proc. Amer. Math. Soc., 1994, 120: 421–424, doi:10.1090/s0002-9939-1994-1172954-7 
  120. ^ T. Friedmann; C.R. Hagen. Quantum mechanical derivation of the Wallis formula for pi. Journal of Mathematical Physics. 2015, 56 (11). arXiv:1510.07813. doi:10.1063/1.4930800. 
  121. ^ Tate, John T., Fourier analysis in number fields, and Hecke's zeta-functions, Algebraic Number Theory (Proc. Instructional Conf., Brighton, 1965), Thompson, Washington, D.C.: 305–347, 1950, ISBN 978-0-9502734-2-6, MR 0217026 
  122. ^ H Dym; H P McKean, Fourier series and integrals, Academic Press, 1972 ; Chapter 4
  123. ^ 123.0 123.1 Mumford, David, Tata Lectures on Theta I, Boston: Birkhauser: 1–117, 1983, ISBN 3-7643-3109-7 
  124. ^ Sidney Port; Charles Stone, Brownian motion and classical potential theory, Academic Press: 29, 1978 
  125. ^ * Titchmarsh, E, Introduction to the theory of Fourier integrals 2nd, Oxford University: Clarendon Press, 1948 (1986), ISBN 978-0-8284-0324-5 .
  126. ^ Stein, Elias, Singular integrals and differentiability properties of functions, Princeton University Press, 1970 ; Chapter II.
  127. ^ 127.0 127.1 Klebanoff, Aaron. Pi in the Mandelbrot set (PDF). Fractals. 2001, 9 (4): 393–402 [2012-04-14]. doi:10.1142/S0218348X01000828. (原始内容 (PDF)存档于2012-04-06). 
  128. ^ Peitgen, Heinz-Otto, Chaos and fractals: new frontiers of science, Springer, 2004, pp. 801–803, ISBN 978-0-387-20229-7.
  129. ^ Halliday, David; Resnick, Robert; Walker, Jearl, Fundamentals of Physics, 5th Ed., John Wiley & Sons, 1997, p 381, ISBN 0-471-14854-7.
  130. ^ Imamura, James M. Heisenberg Uncertainty Principle. University of Oregon. 2005-08-17 [2007-09-09]. (原始内容存档于2007-10-12). 
  131. ^ C. Itzykson, J-B. Zuber, Quantum Field Theory, McGraw-Hill, 1980.
  132. ^ Low, Peter, Classical Theory of Structures Based on the Differential Equation, CUP Archive, 1971, pp 116–118, ISBN 978-0-521-08089-7.
  133. ^ Batchelor, G. K., An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, 1967, p 233, ISBN 0-521-66396-2.
  134. ^ Hans-Henrik Stølum. River Meandering as a Self-Organization Process. Science. 1996-03-22, 271 (5256): 1710–1713. Bibcode:1996Sci...271.1710S. doi:10.1126/science.271.5256.1710. 
  135. ^ Posamentier & Lehmann 2004,第140–141页
  136. ^ Most Pi Places Memorized. Guinness World Records. (原始内容存档于2016-02-14). 
  137. ^ Otake, Tomoko. How can anyone remember 100,000 numbers?. The Japan Times. 2006-12-17 [2007-10-27]. (原始内容存档于2013-08-18). 
  138. ^ Raz, A.; Packard, M. G. A slice of pi: An exploratory neuroimaging study of digit encoding and retrieval in a superior memorist. Neurocase. 2009, 15: 361–372. PMC 4323087. PMID 19585350. doi:10.1080/13554790902776896. 
  139. ^ Keith, Mike. Cadaeic Cadenza Notes & Commentary. [2009-07-29]. (原始内容存档于2009-01-18). 
  140. ^ Keith, Michael. Not A Wake: A dream embodying (pi)'s digits fully for 10000 decimals. Vinculum Press. 2010-02-17. ISBN 978-0963009715. 
  141. ^ Pickover, Clifford A., Keys to Infinity, Wiley & Sons: 59, 1995, ISBN 9780471118572 
  142. ^ Peterson, Ivars, Mathematical Treks: From Surreal Numbers to Magic Circles, MAA spectrum, Mathematical Association of America: 17, 2002, ISBN 9780883855379 
  143. ^ BBC, BBC documentary "The Story of Maths", second part, [2016-09-13], (原始内容存档于2014-12-23) , showing a visualization of the historically first exact formula, starting at 35 min and 20 sec into the second part of the documentary.
  144. ^ Posamentier & Lehmann 2004,第118页
  145. ^ Arndt & Haenel 2006,第14页这部分情节在改编的电影《超時空接觸》中省略。
  146. ^ Gill, Andy. Review of Aerial. The Independent. 2005-11-04 [2016-09-13]. (原始内容存档于2006-10-15). the almost autistic satisfaction of the obsessive-compulsive mathematician fascinated by 'Pi' (which affords the opportunity to hear Bush slowly sing vast chunks of the number in question, several dozen digits long) 
  147. ^ Pi Day activities. PI DAY. 2008 [2016-09-13]. (原始内容存档于2013-07-04). 
  148. ^ MIT cheers. MIT. [2012-04-12]. (原始内容存档于2009-01-19). 
  149. ^ Happy Pi Day! Watch these stunning videos of kids reciting 3.14. USAToday.com. 2015-03-14 [2015-03-14]. (原始内容存档于2015-03-15). 
  150. ^ Google's strange bids for Nortel patents. FinancialPost.com. Reuters. 2011-07-05 [2011-08-16]. (原始内容存档于2011-08-09). 
  151. ^ Eagle, Albert. The Elliptic Functions as They Should be: An Account, with Applications, of the Functions in a New Canonical Form. Galloway and Porter, Ltd. 1958: ix. 
  152. ^ Sequence A019692
  153. ^ Abbott, Stephen. My Conversion to Tauism (PDF). Math Horizons. 2012-04, 19 (4): 34 [2016-09-13]. doi:10.4169/mathhorizons.19.4.34. (原始内容存档 (PDF)于2013-09-28). 
  154. ^ Palais, Robert. π Is Wrong! (PDF). The Mathematical Intelligencer. 2001, 23 (3): 7–8 [2016-09-13]. doi:10.1007/BF03026846. (原始内容存档 (PDF)于2008-02-29). 
  155. ^ Tau Day: Why you should eat twice the pie. Light Years - CNN. 2012-06-28 [2012-06-28]. (原始内容存档于2013-01-12). 
  156. ^ Life of pi in no danger – Experts cold-shoulder campaign to replace with tau. Telegraph India. 2011-06-30 [2016-09-13]. (原始内容存档于2013-07-13). 
  157. ^ Posamentier & Lehmann 2004,第36–37页
  158. ^ Hallerberg, Arthur. Indiana's squared circle. Mathematics Magazine. 1977-03, 50 (3): 136–140. JSTOR 2689499. doi:10.2307/2689499. 

延伸閱讀

  • Blatner, David. The Joy of Pi. Walker & Company. 1999. ISBN 978-0-8027-7562-7. 
  • Borwein, Jonathan; Borwein, Peter. The Arithmetic-Geometric Mean and Fast Computation of Elementary Functions. SIAM Review. 1984, 26 (3): 351–365. doi:10.1137/1026073. 
  • Borwein, Jonathan; Borwein, Peter; Bailey, David H. Ramanujan, Modular Equations, and Approximations to Pi or How to Compute One Billion Digits of Pi. The American Mathematical Monthly. 1989, 96 (3): 201–219. JSTOR 2325206. doi:10.2307/2325206. 
  • Chudnovsky, David V. and Chudnovsky, Gregory V., "Approximations and Complex Multiplication According to Ramanujan", in Ramanujan Revisited (G.E. Andrews et al. Eds), Academic Press, 1988, pp 375–396, 468–472
  • Cox, David A., "The Arithmetic-Geometric Mean of Gauss", L' Ensignement Mathematique, 30(1984) 275–330
  • Delahaye, Jean-Paul, "Le Fascinant Nombre Pi", Paris: Bibliothèque Pour la Science (1997) ISBN 2902918259
  • Engels, Hermann. Quadrature of the Circle in Ancient Egypt. Historia Mathematica. 1977, 4 (2): 137–140. doi:10.1016/0315-0860(77)90104-5. 
  • Euler, Leonhard, "On the Use of the Discovered Fractions to Sum Infinite Series", in Introduction to Analysis of the Infinite. Book I, translated from the Latin by J. D. Blanton, Springer-Verlag, 1964, pp 137–153
  • Hardy, G. H. and Wright E. M., An Introduction to the Theory of Numbers first published 1938, fifth Edition 1979 with additions 2000, Clarendon Press, Oxford U.K.
  • Heath, T. L., The Works of Archimedes, Cambridge, 1897; reprinted in The Works of Archimedes with The Method of Archimedes, Dover, 1953, pp 91–98
  • Huygens, Christiaan, "De Circuli Magnitudine Inventa", Christiani Hugenii Opera Varia I, Leiden 1724, pp 384–388
  • Lay-Yong, Lam; Tian-Se, Ang. Circle Measurements in Ancient China. Historia Mathematica. 1986, 13 (4): 325–340. doi:10.1016/0315-0860(86)90055-8. 
  • Lindemann, Ferdinand. Ueber die Zahl pi. Mathematische Annalen. 1882, 20 (2): 213–225. doi:10.1007/bf01446522. (原始内容存档于2015-01-22). 
  • Matar, K. Mukunda; Rajagonal, C. On the Hindu Quadrature of the Circle" (Appendix by K. Balagangadharan). Journal of the Bombay Branch of the Royal Asiatic Society. 1944, 20: 77–82. 
  • Niven, Ivan, "A Simple Proof that pi Is Irrational", Bulletin of the American Mathematical Society, 53:7 (July 1947), 507
  • Ramanujan, Srinivasa, "Modular Equations and Approximations to π", Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics, XLV, 1914, 350–372. Reprinted in G.H. Hardy, P.V. Seshu Aiyar, and B. M. Wilson (eds), Srinivasa Ramanujan: Collected Papers, 1927 (reprinted 2000), pp 23–29
  • Shanks, William英语William Shanks, Contributions to Mathematics Comprising Chiefly of the Rectification of the Circle to 607 Places of Decimals, 1853, pp. i–xvi, 10
  • Shanks, Daniel; Wrench, John William. Calculation of pi to 100,000 Decimals. Mathematics of Computation. 1962, 16 (77): 76–99. doi:10.1090/s0025-5718-1962-0136051-9. 
  • Tropfke, Johannes, Geschichte Der Elementar-Mathematik in Systematischer Darstellung (The history of elementary mathematics), BiblioBazaar, 2009 (reprint), ISBN 978-1-113-08573-3
  • Viete, Francois, Variorum de Rebus Mathematicis Reponsorum Liber VII. F. Viete, Opera Mathematica (reprint), Georg Olms Verlag, 1970, pp 398–401, 436–446
  • Wagon, Stan英语Stan Wagon, "Is Pi Normal?", The Mathematical Intelligencer, 7:3(1985) 65–67
  • Wallis, John, Arithmetica Infinitorum, sive Nova Methodus Inquirendi in Curvilineorum Quadratum, aliaque difficiliora Matheseos Problemata, Oxford 1655–6. Reprinted in vol. 1 (pp 357–478) of Opera Mathematica, Oxford 1693
  • Zebrowski, Ernest, A History of the Circle: Mathematical Reasoning and the Physical Universe, Rutgers University Press, 1999, ISBN 978-0-8135-2898-4

外部連結