榭赫倫實驗

榭赫倫山的偏遠位置與對稱山形實驗很有幫助。

榭赫倫實驗(英語:Schiehallion Experiement)是十八世紀一次測量地球平均密度實驗。實驗資金由皇家學會提供,在1774年夏於蘇格蘭珀斯郡(今珀斯-金羅斯)的榭赫倫山附近進行。實驗的主要用具是,由於附近的山對擺造成重力吸引,所以擺運動時近的一邊會有微小的偏角,而實驗所量度的正是這個偏角。經過對候選山頭的初步調查,調查顯示榭赫倫山是進行實驗的理想地點,因為它擁有偏遠的位置與近乎對稱的山形。促成這次實驗的一個原因是,勘測梅森-狄克森線(Mason-Dixon Line,美國賓夕法尼亞州馬利蘭州特拉華州西維吉尼亞州間的一段邊界)時所注意到的單向偏倚。

同樣的實驗之前曾被艾薩克·牛頓考慮過,他想用這個實驗來展示他的萬有引力定律,但最終被放棄。然而,以當時的皇家天文學家內維爾·馬斯基林為首的一隊科學家,認為這樣的效應是可以測量的,並計劃進行這一個實驗。鐘擺的偏角大小,取決於地球與山的相對密度和體積。如果可以確定榭赫倫山的密度,那麼這個實驗的結果就能確定地球的密度。知道了地球的密度,科學家們就估計出太陽系內各天體的密度近似值,這些天體包括其他行星、它們的衛星太陽本身,之前所知道的,只是它們之間的相對比值。這個實驗還有另一項貢獻,為了簡化勘測山的過程,實驗者發明了等高線,現在製作地圖還是會用到這項發明。

背景

在對稱的引力場中,擺在靜止時會垂直向下。然而,如果旁邊有足夠大的質量(例如一座山),那麼它的吸引力,應該會把擺的鉛錘,向它那邊拉過去,使得擺稍微偏離垂直。由某已知物體(例如恆星)所造成的鉛垂線角度偏移,可以通過在山兩邊的各對點上,對擺進行仔細的測量得出。通過判定山的體積,及估算山石的平均密度,就能夠獨立地得出山的質量,再加上在那座山多處的偏角測量值,就能通過外推得出地球的平均密度,然後再使用平均密度來算出地球的質量。

艾薩克·牛頓在《自然哲學的數學原理》一書中,曾考慮過這個效應[1],但卻悲觀地認為,地球上任何山所造成的偏角都太小,測量不到[2]。他寫道,引力效應只能在行星的大小尺度下才看得到[2]。牛頓的悲觀是沒有根據的:雖然他的計算指出,偏角會小於2角分(對象是一座三英哩高的理想山),但是這個角度,儘管很小,還是在當時儀器的理論測量範圍之內[3]

任何一個測試牛頓萬有引力定律的實驗都有兩個作用:一、為該定律提供證據;二、為地球的質量與密度提供近似值。對於天文物體的質量,由於已知的只有各天體間的相對質量比,所以知道地球質量的大小,就能知道其他天體質量的合理數值,這些天體包括行星、它們的衛星,還有太陽。實驗的數據也能用於計算萬有引力常數G 的大小,但是這不是當時實驗者的目標;而G 最早的參考數值,要再等幾乎一百年,才出現在科學文獻中[4]

尋找那座山

欽博拉索山,1738年法國人實驗的對象。

1738年,欽博拉索山

一對法國天文學家,皮埃爾·布格(Pierre Bouguer)和夏爾·瑪麗·德·拉·孔達米納(Charles Marie de La Contamine),是最早進行這項實驗的人,他們在1738年的實驗地為厄瓜多爾欽博拉索山[5],山高6,268米。他們的探險隊,為了測量一度緯度內的子午線弧長,而在1738年離開了法國,前往赤道上的南美洲,但是他們卻乘機進行了這項偏移實驗。在1738年12月,在非常困難的地形和氣候下,他們在海拔4,680米和4,340米的地方,進行了兩次測量[6]。布格在1749年的一份論文上說他們量度到8角秒的偏移,但是他卻低估了這次結果的重要性,還說這項實驗應該在條件較好英國或法國進行[3][6]。他還補充說,這次實驗最少證明了,地球不可能是空殼,而當時就有思想家認為地球可能是空的,當中包括了愛德蒙·哈雷[5]

1774年,榭赫倫山

蘭洛克湖望過去,可見榭赫倫山對稱的山脊。

當時的皇家天文學家內維爾·馬斯基林(Nevil Maskelyne)於1772年向皇家學會提出,應該再多進行一次這項實驗。他說這實驗會“為進行它的國家帶來榮耀”[3],還提出兩處適合的實驗地:約克郡渾塞德峰(Whernside),及坎伯蘭布倫卡思拉-斯克道(Blencathra-Skiddaw)古地塊。皇家學會組成了引力委員會,來考慮這件事,委員包括馬斯基林、約瑟夫·班克斯(Joseph Banks)和本傑明·富蘭克林[7]。委員會派遣天文學家兼測量學家查理斯·梅森(Charles Mason),去找一座適合的山。

數學步驟

榭赫倫實驗的力圖

榭赫倫實驗的力圖如右,其中偏角被大幅度誇大。分析時只考慮山一邊的吸引力,這樣分析會簡單得多[8]。設山的質量及密度分別為MMρM,其質心則為P,一質量為m的鉛錘,被置於離P點距離為d的地方。由於山的吸引力F,鉛錘輕微向P偏移,擺繩與垂直向地的重量W間的角度,為小偏角θWF向量和,構成擺繩中的張力T。又設地球的質量為ME,半徑為rE及密度為ρE

作用於鉛錘的兩股引力,可由牛頓萬有引力定律求得:

其中G牛頓萬有引力常數。取FW間的比值,此時Gm會被除去:

其中VMVE為山及地球的體積。在靜力平衡下,擺繩張力的垂直及水平分量,可由引力及偏角θ表示:

代入T,得:

其中已知VEVMdrE,而實驗測量了θ,於是代入各數值,可用下式計算出ρE : ρM 的值[8]

註釋

^ 注解一:當時位於秘魯總督區
^ 注解一:梅森之前曾和傑里邁亞·狄克森(Jeremiah Dixon),在美國國土上標記了梅森-狄克森線,這條線把當時的美國分成南北兩部份。

參考資料

  1. ^ Davies, R.D. A Commemoration of Maskelyne at Schiehallion. Royal Astronomical Society Quarterly Journal. 1985, 26 (3): 289–294. Bibcode:1985QJRAS..26..289D. 
  2. ^ 2.0 2.1 Newton. Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica II. : 528. ISBN 0521076471.  Translated: Andrew Motte, First American Edition. New York, 1846
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 Sillitto, R.M. Maskelyne on Schiehallion: A Lecture to the The Royal Philosophical Society of Glasgow. 31 October 1990 [28 December 2008]. 
  4. ^ Cornu, A.; Baille, J. B. Mutual determination of the constant of attraction and the mean density of the earth. Comptes rendus de l'Académie des sciences. 1873, 76: 954–958. 
  5. ^ 5.0 5.1 Poynting, J.H. The Earth: its shape, size, weight and spin. Cambridge. 1913: 50–56. 
  6. ^ 6.0 6.1 Poynting, J. H. The mean density of the earth (PDF). 1894: 12–22. 
  7. ^ Danson, Edwin. Weighing the World. Oxford University Press. 2006: 115–116. ISBN 978-0195181692. 
  8. ^ 8.0 8.1 Ranalli, G. An Early Geophysical Estimate of the Mean Density of the Earth: Schehallien, 1774. Earth Sciences History. 1984, 3 (2): 149–152. 

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